故
????????????CE?CA?CD?(k*(190?u0)?m*(503?u0)?2*l*(213?u0),k*(325?v0)?m*(583?v0)?2*l*(640?v0),1577(2l?k?m))
特别的，OE也可以表示出来
????OE?E?O?????????CA?CD?C?O?????????????CA?CD?OC ?????????CA?OD??????????CA?mOD'?????(k*(190?u0)?m*(503?u0)?l*(213?u0),k*(325?v0)?m*(583?v0)?l*(640?v0),1577(l?k?m))
注意到OE平行于OE'，故有
k*(190?u0)?m*(503?u0)?l*(213?u0)502?u0?k*(325?v0)?m*(583?v0)?l*(640?v0)285?v01577(l?k?m)?1577 (11)
?由于ACDE是边长为100mm?378px的正方形，故有方程组
?k*(190?u0)?l*(213?u0)???k*(325?v0)?l*(640?v0)?222?157722?l?k?2?37822 (12)
2?m*(503?u0)?l*(213?u0)???m*(583?v0)?l*(640?v0)??15772?l?m??378 (13)
?k*(190?u0)?m*(503?u0)?2*l*(213?u0)???157722?k*(325?v0)?m*(583?v0)?2*l*(640?v0)??2l?k?m?22 (14)
?3782*2我们发现方程(11)(12)(13)(14)有5个方程，5个未知数。我们只要通过解二次方程就可以求出参数u0，v0，k，l，m的数值。于是，照相机参数的标定就完成了。我们具体用MATLAB的程序来解这样的方程，程序见附录2。表2是具体的结果。
11
参数 数值 16 u 0v 0 k l m 300.3430 490.621.0909 1.1734 1.2515 表2 参数的值
有了如上参数的值，我们很容易求出A，B，C，D，E，A’，B’，C’，D’，E’在照相机坐标系Oxyz，具体的结果见表3、4。
点 x轴 yA -31.844 -47.798 445.119 B -30.425 -19.548 465.445 C -27.113 46.370 489.538 D 67.097 30.585 522.121 E 79.241 -55.892 619.015 轴 轴 z 表3 题目图2中A,B,C,D,E在照相机坐标的坐标
点 x轴 yA’ -29.191 -43.816 417.196 B’ -27.604 -19.212 417.196 C’ -23.106 39.518 417.196 D’ 53.613 24.439 417.196 E’ 53.349 -54.398 417.196 轴 轴 z 表4 A,B,C,D,E的像点（原题目中图3）在照相机坐标的坐标
表3、表4分别是问题2、问题1的答案。
此外，我们还求出了u0，v0（见表2），u0，v0是图像中心（光轴与图像平面的交点）坐标，是照相机的内部参数。一般的，对于照相机的外部参数r11，r12，r13，r21，
r，r，r，r，r，tx，ty，tz，我们利用前面介绍的坐标系变换关系(1),
2223313233建立一个如图1的世界坐标系，那么，A，B，C，D，E，A’，B’，C’，D’，E’在世界坐标系中的坐标可以求出来，利用最小二乘法的二项式回归，我们可以得到照相机外部参数。具体的结果见表5.
12
r 11r 12r 13r 21r 22r 230.0473 0.9421 0.2220 0.9417 -0.1579 0.2971 r 31r 32r 33tx ty tz 455.1189 0.3443 0.3257 -0.8806 -31.8444 -47.7984 表5 相机外部参数值
5.3 两部固定相机相对位置标定的模型
事实上，5.2节中的单个照相机参数标定模型已经可以求出，在相机1的相机坐标系oxyz中，靶标上各个点与靶标的像各个点的坐标。我们不妨设靶标上各个点的坐标为
A(xA,y,zA2A),B(xB,y,zBB),C(xC,y,zCC),D(xD,y,zDD),E(xE,y,zEE)。如果又在
另一个固定位置加入相机2，同样我们可以求出靶标上各个点在相机2的相机坐标系
ox2yz22中各个点的坐标A(x2A2,yA,zA), B(xB,yB,zB), C(xC,yC,zC2222222),
2D(xD2,yD,zD2), E(xE2,yE,zE2)。见图6。
213
O”OE”Z’A”Ｄ＇B”zxoD”yＣ＇C”X’Y’Ｅ＇Ａ＇EＢ＇DZwAYwXwABC∏
图6 双目标定模型
而且，在图6上我们发现，照相机的光心O、O”，第一个照相机的光心O在世界坐标系里的坐标为（31.844，47.798，455.119），如果加入第二个相机，用5.2节中模型的方法，我们也可以求出第二个相机的光心在世界坐标系上的坐标。这样，两个相机的相对位置就可以求出来了。
此外，我们还可以利用坐标变换的方法，求出双目标定模型的相机相对位置。见文献[1]。
由两台CCD 摄像机组成的空间三坐标测量传感器的数学模型和相应的各种坐标系如图7 所示。设摄像机1 位于传感器测量坐标系oxyz 的原点处且无旋转, 像面坐标系为
OXY, 有效焦距为f1, 像面中心为(uo1 , vo1) ; 摄像机2 坐标系为o2x2y2z2,
111像面坐标系为o2x2y, 有效焦距为
2f2, 像面中心为(uo2 , vo2) , 摄像机模型如
前所述。
14
PZZ2X2O2 of1Y1xX1 f2Y2o2x2yy2
图7 双目体视传感器模型
??X1??f1???Y1??0????1??0???00???x???0?y (15) ????z??1???f01??0 X1?(u1?uo1)s??X2??f2???Y2??0????1??0???0X1 , Y1?v?v1o1
f020?????x2?0??y? (16) ??2?1?????z2???0 X2?(u2?uo2)sX22 , Y2?v2?vo2
设oxyz坐标系与o2x2y?x??x?2?????y??R*?y??T2????z????z2???r1?R??r4??r7z2坐标系的空间位置关系为
(17)
rrr258rrr????tx??,T??ty?6????9???tz??3由(15)~(17)式可知，传感器测量坐标系表示的空间点与两照相机像面点之间的对应关系为：
15