将上式的图像坐标系进一步转化为图像坐标系
??u?u0?X/dx?sxX??v0?Y/dy?syY??v (5)
齐次坐标表示为：
?u??sx???v?0??????1???00s0yuv??X??Y0???1?1??0?? (6) ???其中， u0，v0 是图像中心（光轴与图像平面的交点）坐标， dx，dy分别为一个像素在X 与Y方向上的物理尺寸， sx?1/dx，sy?1/dy ，分别为X与Y方向上的采样频率，即单位长度的像素个数。（在本文中sx?sy?3.78）
由此可得物点P 与图像像素坐标系中像点P 的变换关系。
??u0?fsxx/z??u??v?v0?fsyy/z??ffxx/zy/z (7)
y其中，fx?fsx,fy?fsy分别定义为X 和Y 方向的等效焦距。f，f，u0，v0 等
xy4 个参数只与照相机内部结构有关，因此称为照相机内部参数。
（3）世界坐标系与图像坐标系变换关系（共线方程） 世界坐标系与图像坐标系变换关系：
?????????XfYfry??ryf?ry?vxrv??frx?ryu??u0xrxrx113121w?12w?w32wrz?rz133323w?tx?tz?tyw (8)
0w22w?y31w32wrz?rz33ww?tz齐次坐标表示为：
?fu?????zv??0?????1???0?x0uy0f0v100???R0??T???0?0??xw???T??y???w??1???z?w?1???MMX12?MX (9)
上式就是摄影测量学中最基本的共线方程。说明物点、光心和像点这三点必须在同一条直线上。这是针孔模型或者中心投影的数学表达式。根据共线方程，在照相机内部参数确定的条件下，利用若干个已知的物点和相应的像点坐标，就可以求解出照相机的六个外部参数，即照相机的光心坐标和光轴方位的信息。
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五、模型的建立与求解
5.1确定图3 上各圆心的模型
我们假设图2上A，B，C，D，E的像在图3上标记为A’,B’,C’,D’,E’。我们一看到A’,B’,C’,D’,E’是不规则的圆，那么如何确定各圆的圆心呢？由于数码相机的图片是由离散的像素组成的，我们建立一个离散的极小值模型来求圆心。依A’圆为例，如图3，
h2h1hihk
图3 圆A的像的像素图
A’圆是由一系列像素为黑的像素点组成（h1,h2,...,hk,...,hn），该集合对应的矩阵指标集合我们记为A’。我们知道图3是1024*786像素的图片（题目中把图片缩小成37%）。我们引入一个类似于最小二乘法的思想，如果以像素为单位，A’的中心是距集合（h1,h2,...,hk,...,hn）所有其他像素距离之和最小的像素点。第k个像素（对应矩阵的指标为(i,j)）到集合A’中其与所有像素距离之和为（单位为像素）
d(i,j)?(i1,j1)?A'?(i?i1)2?(j?j1)
2那么，我们要求的圆心坐标(i,j)直接化为如下无约束的极小值问题
(i,j)?min d(i,j)?(i,j)?A'min?(i,j)?A'(i1,j1)?A'(i?i1)2?(j?j1) (10)
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APBODC
图4 标准圆心的距离图
注1：如图4，对图上的四个点A,B,C,D，圆心O到四个点的距离之和很明显小于圆内任意一点P到四个点的距离之和。这从直观上说明了我们用极小距离求圆心的可行性。
我们的具体做法是，先用MATLAB把图3转化为像素矩阵(Xij)786*1024，然后根据极小值公式（10），用MATLAB编程，就可以求出A’圆心在图像像素坐标系上的坐标。详细程序见附录1。用同样的方法我们可以求出其余的点在图像像素坐标系上的坐标，结果见表1。
A’ B’ C’ D’ E’ 图像 像素坐（190，325） （196，418） (213,640) (503,583) (502,285) 标系的坐标 表1 点A、B、C、D、E像的圆心坐标
5.2标定的几何模型（问题1、2的解答）
将图像平面与光轴的交点作为原点o并建立三维坐标系，也即xoy平面为图像物理坐标系，再令光轴为oz轴，方向满足右手方向，为方便计算，单位采用像素（px）。
根据Matlab计算得到照片中五个近似圆的中心在图像像素坐标系中的坐标分别为
A'?(190,325),
B'?(196,418), C'?(213,640), D'?(503,583), E'?(502,285).
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我们将这些坐标转化为图像物理坐标系中的坐标，即减去(u0,v0)。此时，我们不知道图像中心坐标，因为它是一个相机内部参数，我们不妨把它看做未知数。于是在新的三维坐标系中，我们有A?(190?u0,325?v0,0)等等。即
A'?(190?u0,325?v0,0), B'?(196?u0,418?v0,0), C'?(213?u0,640?v0,0), D'?(503?u0,583?v0,0), E'?(502?u0,285?v0,0).
'延长OA',OB',OC',OD',OE',并设有平面∏与这五条射线相交于五点
。 A,B,C,D,E（见图5）
ＯＤ＇zxoyＣ＇Ｅ＇Ａ＇EＢ＇DZwAYwXwABC∏
图5 靶标的四棱锥模型
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于是
????OA'?A'?O?(190?u0,325?v0,?1577), ????OB'?B'?O?(196?u0,418?v0,?1577), ????OC'?C'?O?(213?u0,640?v0,?1577), ????OD'?D'?O?(503?u0,583?v0,?1577), ????OE'?E'?O?(502?u0,285?v0,?1577).
假设三个未知量k，l，m，使得
????????OA?k*OA'， ?????????OB?k*OB', ?????????OC?k*OC', ?????????OD?k*OD', ?????????OE?k*OE'.
因此，A，C，D三点的坐标为
????A?OA?O?????k*OA'?O
?(k*(190?u0),k*(325?v0),1577(1?k))????C?OC?O??????l*OC'?O ?(l*(213?u0),l*(640?v0),1577(1?l))????D?OD?O??????m*OD'?O?(m*(503?u0),m*(583?v0),1577(1?m))
由于A，C，D三点即确定了平面∏，故可求出E点的坐标，特别地，根据题目条
????????????件可知，ACDE是一个边长为100mm?378px的正方形，故CE?CA?CD.其中
????CA?A?C?(k*(190?u0)?l*(213?u0),k*(325?v0)?l*(640?v0),1577(l?k)) ????CD?D?C?(m*(503?u0)?l*(213?u0),m*(583?v0)?l*(640?v0),1577(l?m))
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