题型1 基本不等式正用a＋b≥2ab
1
例1：(1)函数f(x)＝x＋(x>0)值域为________；
x1
函数f(x)＝x＋(x∈R)值域为________；
x1
(2)函数f(x)＝x2＋2的值域为________．
x＋11
解析：(1)∵x >0，x＋≥2
x
1x·＝2， x
∴f(x)(x >0)值域为[2，＋∞)；
当x∈R时，f(x)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x2＋≥211
＝(x2＋1)＋2－1 x＋1x＋1
21?x2＋1?·2－1＝1，
x＋1
当且仅当 x＝0 时等号成立．
答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)
4
4．(2013·镇江期中)若x>1，则x＋的最小值为________．
x－1
44
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
x－1x－14
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
x－1答案：5
4
[例1] (1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________．
x (1)∵x＜0，∴－x＞0， 44
∴f(x)＝2＋＋x＝2－?－x＋?－x??.
x??
44
∵－＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立．
x－x4
∴f(x)＝2－?－x＋?－x??≤2－4＝－2，
??
∴f(x)的最大值为－2. 例：当x＞0时，则f(x)＝
2x
的最大值为________． x＋1
2x22
解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝2＝≤＝1，
12x＋1
x＋x
21
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
x
x2＋2
3．函数y＝(x>1)的最小值是________．
x－1解析：∵x>1，∴x－1>0. x2＋2x2－2x＋2x＋2∴y＝＝ x－1x－1x2－2x＋1＋2?x－1?＋3＝
x－1?x－1?2＋2?x－1?＋3＝
x－13
＝x－1＋＋2
x－1≥2
3
?x－1?＋2＝23＋2.
x－1
3
当且仅当x－1＝，即x＝1＋3时，取等号．
x－1答案：23＋2
10．已知x＞0，a为大于2x的常数， 1
求y＝－x的最小值．
a－2xa－2xa1
解：y＝＋－≥2
22a－2xa－2
当且仅当x＝时取等号．
21a
故y＝－x的最小值为2－. 2a－2x
题型2 基本不等式反用ab≤
a＋b
2
1aa－＝2－. 222
例：(1)函数f(x)＝x(1－x)(0 0 0，?. ∴f(x) 值域为??4?1 (2)∵0 2 11?2x＋?1－2x??21 x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤·22?2?＝8， 1 0，?. ∴f(x) 值域为??8?x＋?1－x??21 2??＝4， 110，? (2)?0，? 答案：(1)??4??8?3．(教材习题改编)已知0 11931 解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立． 33442答案：1 2 3．函数y＝x1－x2的最大值为________． 解析：x1－x2＝x2?1－x2?≤x2＋?1－x2?12＝2 . 4．已知0 A.13 B.1322 C.4 D.3 答案 B 解析 ∵0 ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3?x＋1－x?2??2＝3 4. 当x＝1－x，即x＝1 2 时取等号． 10．已知x＞0，a为大于2x的常数， 求函数y＝x(a－2x)的最大值； 解：∵x＞0，a＞2x， ∴y＝x(a－2x)＝1 2 ×2x(a－2x) 1?2x＋?a－2x??2??2＝a2aa2≤2×8，当且仅当x＝4时取等号，故函数的最大值为8. 题型三：利用基本不等式求最值 2 2．已知t>0，则函数y＝t－4t＋1 t 的最小值为________． 答案 －2 解析 ∵t>0，∴y＝t2－4t＋11 t＝t＋t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号． 例：当x>0时，则f(x)＝2x x2＋1 的最大值为________． 解析：∵x>0，∴f(x)＝2x22 x2＋1 ＝≤＝1x＋12， x 当且仅当x＝1 x ，即x＝1时取等号． 例1：(1)求函数f(x)＝1 x－3 ＋x(x＞3)的最小值； (2)求函数f(x)＝x2－3x＋1 x－3 (x＞3)的最小值； ( ) 思维突破：(1)“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值．(2)“拆项”，a 把函数式变为y＝M＋的形式． M ：(1)∵x＞3，∴x－3＞0. 1 ∴f(x)＝＋(x－3)＋3≥2 x－3 1·?x－3?＋3＝5. x－3 1 当且仅当＝x－3，即x＝4时取等号， x－3∴f(x)的最小值是5. (2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0. ?t＋3?2－3?t＋3?＋11 ∴f(x)＝＝t＋＋3≥2 tt 1 t·＋3＝5. t 1 当且仅当t＝，即t＝1时取等号，此时x＝4， t∴当x＝4时，f(x)有最小值为5. cx2＋dx＋f 技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y＝ ax＋bp (a≠0，c≠0)的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y＝t＋(p为常数)型函数， t要注意t的取值范围； 4 例：设x>－1，求函数y＝x＋＋6的最小值； x＋1 解：∵x>－1，∴x＋1>0. 44 ∴y＝x＋＋6＝x＋1＋＋5≥2 x＋1x＋1 4 ?x＋1?·＋5＝9， x＋1 4 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，取等号． x＋1∴当x＝1时，函数y的最小值是9. 1．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________． 答案 81 解析 由于x>0，y>0，则x＋y≥2xy， x＋y?2 所以xy≤??2?＝81， 当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81. xy＋ 5．已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为_______________． 34 答案 3 xy 解析 ∵x>0，y>0且1＝＋≥234 xyxy ，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号． 1234 6．(2013·大连期中)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． ???x＝，?4x＝3y， 解析：∵12＝4x＋3y≥24x×3y，∴xy≤3.当且仅当?即?2 ?4x＋3y＝12，?? 3 ?y＝2 时xy 取得最大值3. 答案：3 2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为________． 解析：∵m>0，n>0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立． 答案：18 25 5．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________． xy解析：由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10. 25则＋≥2 xy 25?10 ＝2，故?当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，?x＋y?min＝2，xy y＝5时等号成立． 答案：2 (2012·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________． 解析：由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1， 即ab≥2，∴3＋9＝3＋3≥2×3 a b a 2b a＋2b2 (当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)． 又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)， ∴3a＋9b≥2×32＝18. 即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18. 11 3．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则＋的最大值为 ( ) xy 31 A．2 B. C．1 D. 22答案 C 11 解析 由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋＝log3a xy a＋b?211 ＋log3b＝log3ab≤log3?＝1，当且仅当a＝b＝3时“＝”成立，则＋的最大值 xy?2?为1. 1?12?x2＋2?·2＋4y的最小值为________． 6．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则?y??x??答案 9 111 x2＋2??2＋4y2?＝5＋22＋4x2y2 解析 ?y??x??xy1≥5＋24x2y2＝9， 22·xy 1 当且仅当x2y2＝时“＝”成立． 2 例：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求xy的最小值．