解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2x·3y， ∴xy≥12
25，当且仅当x＝3y时取等号．
xy的最小值为12
25
.
4．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________． 答案 18
解析 由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥22xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)， 即(xy)2－22xy－6≥0， ∴(xy－32)·(xy＋2)≥0. 又∵xy>0，∴xy≥32，即xy≥18. ∴xy的最小值为18.
例：已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是
A．3 B．4 C.911
2 D.2 解析 依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9， ∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2?x＋1??2y＋1?＝6，
即x＋2y≥4.
当且仅当???x＋1＝2y＋1，????x＋2y＋2xy＝8， 即?x＝2，?时等号成立． ?y＝1
∴x＋2y的最小值是4.
3．若x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＋xy＝30. (1)求xy的取值范围； (2)求x＋y的取值范围．
解：由x＋2y＋xy＝30，(2＋x)y＝30－x， 则2＋x≠0，y＝30－x
2＋x＞0,0＜x＜30.
(1)xy＝－x2＋30x
x＋2
＝－x2－2x＋32x＋64－64x＋2 ＝－x－64
x＋2
＋32
＝－???x＋2?＋64
x＋2??
＋34≤18，当且仅当x＝6时取等号，
因此xy的取值范围是(0,18]． (2)x＋y＝x＋30－x32
2＋x＝x＋x＋2
－1
( )
∴?x＝42－2，32
＝x＋2＋－3≥82－3，当且仅当?时，等号成立，又x＋y＝x＋2＋
x＋2?y＝42－1
32
－3＜30，因此x＋y的取值范围是[82－3,30)． x＋2
16
例：已知a>b>0，则a2＋的最小值是________．
b?a－b?
b＋a－b?2a2?解析：∵a>b>0，∴b(a－b)≤
?2?＝4，
当且仅当a＝2b时等号成立．
161664
∴a2＋≥a2＋2＝a2＋2
aab?a－b?
4
64≥2a2·2＝16，当且仅当a＝22时等号成立．
a
16
∴当a＝22，b＝2时，a2＋取得最小值16.
b?a－b?
y2
8．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．
xzx＋3z
解析：由已知条件可得y＝，
2
22
y2x＋9z＋6xz所以＝
xz4xz
1x9z?＋＋6 ＝??4?zx1≥?2 4?
x9z?
×＋6＝3， zx?
y2
当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.
xz答案：3
例：已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 解析：由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.
1．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________． x＋22xy解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取
x＋yx＋22xyx＋22xy
等号)，即的最大值是2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.
x＋yx＋y
答案：2
2
1．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为
x－a________．
解析：因为x>a，所以2x＋
22＝2(x－a)＋＋2a≥2x－ax－a2
2?x－a?·＋2a＝2a＋4，
x－a
33
即2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.
22
3
答案： 2
5．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0 (a，b∈R)对称，则ab的取值范围是 1－∞，? A.?4??答案 A
解析 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤?
2
1
0，? B.??4?
1
－，0? C.??4?
( )
1－∞，? D.?4??
a＋b?
?2?
1
＝ (a＝b时取等号)． 4
1－∞，?. 故ab的取值范围是?4??
11
a＋??b＋?的最小值． 典例：(12分)已知a、b均为正实数，且a＋b＝1，求y＝??a??b?易错分析 在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．
审题视角 (1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围． 规范解答
11
a＋??b＋? 解 方法一 y＝??a??b?1ba1
ab＋?＋?＋?≥?ab＋?＋2 ＝?ab??ab??ab??
1?2?1
－3ab?2 ＝?ab＋＝4ab＋
ab??ab??
a＋b?1325?4－?2＝.[10分] ≥?24ab·－3×2?2＝?
ab???2?4
11125
a＋??b＋?取最小值，最小值为.[12分] 当且仅当a＝b＝时，y＝??a??b?24
111aba＋??b＋?＝ab＋＋＋ 方法二 y＝??a??b?abba222
1a＋b1?a＋b?－2ab
＝ab＋＋＝ab＋＋ abababab2
＝＋ab－2.[8分] ab
1a＋b?21
0，?. 令t＝ab≤?＝，即t∈??4??2?4
12
0，?上是单调递减的，[10分] 又f(t)＝＋t在??4?t
1331
∴当t＝时，f(t)min＝，此时，a＝b＝.
442
125
∴当a＝b＝时，y有最小值.[12分]
24
温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件. 方法与技巧
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
2．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：
11
(1)当x>2时，x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4.
x－2x－2
81
(2)0 3313x＋8－3x?216≤?3?2?＝3. 失误与防范 1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． 2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 题型四：利用基本不等式整体换元 例2：若正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，求 ab 及 a＋b 的取值范围． 思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想． 自主解答：方法一：由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3， 即ab－2ab－3≥0. 即(ab－3)(ab＋1)≥0. ∵ab≥0，∴ab＋1≥1. 故ab－3≥0，∴ab≥9. 当且仅当a＝b＝3时取等号． 又∵ab≤ a＋ba＋b?2 ，∴ab＝a＋b＋3≤?2?2?. 当且仅当a＝b＝3时取等号． 即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0， (a＋b－6)(a＋b＋2)≥0. ∵a＋b＋2＞0，有a＋b－6≥0，即a＋b≥6. ∴a＋b的取值范围是[6，＋∞)． a＋3 方法二：由ab＝a＋b＋3，则b＝. a－14a44 ab＝a＋＝a＋4＋＝a－1＋＋5 a－1a－1a－1≥24 ?a－1?·＋5＝9， a－1 当且仅当a＝b＝3时取等号． ∴ab的取值范围是[9，＋∞)． a＋3 由ab＝a＋b＋3，得b＝， a－1 a＋344 a＋b＝a＋＝a＋1＋＝(a－1)＋＋2 a－1a－1a－1≥2(a－1)·＋2＝6， a－1 4 当且仅当a＝b＝3时取等号． ∴a＋b的取值范围是[6，＋∞)． 技巧总结：整体思想是分析这类题目的突破口，即a＋b与ab分别是统一的整体，把a＋b 转换成ab 或把ab 转换成a＋b. 11 例3：已知正数a，b满足a＋2b＝1，则＋的最小值是____． ab 11a＋2ba＋2b试解：＋＝＋ abab2ba ＝3＋＋≥3＋2 ab 2ba ·＝3＋22. ab 易错点评：多次利用基本不等式解题，没有考虑等号能否同时成立。 在解题过程中先后两次用到了重要不等式，第一次等号成立的条件是“当且仅当 a＝2b 时”；11 而第二次等号成立的条件是“当且仅当＝时”；这显然不可能同时成立，因此等号取不到． ab12 3．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是_________． xy 答案 8 12?12 解析 因为＋＝(2x＋y)??x＋y? xy y4xy4x11＝4＋＋≥4＋2·＝8，等号当且仅当y＝，x＝时成立． xyxy2411 例：已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________； xy 解析 ∵x>0，y>0，且2x＋y＝1， 112x＋y2x＋y∴＋＝＋ xyxyy2x ＝3＋＋≥3＋22. xy