k＝， 6418
34－2?a＋2?·a＋264
当且仅当a＋2＝时等号成立，y取得最小值．
a＋2≥
这时a＝6或a＝－10(舍)，将其代入①式，得b＝3.
故当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 方法二 依题意，求使ab值最大的a，b的值． 由题设，知4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)， 即a＋2b＋ab＝30 (a>0，b>0)．
因为a＋2b≥22ab，所以22·ab＋ab≤30， 当且仅当a＝2b时，上式取等号． 由a>0，b>0，解得0
即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18. 所以2b2＝18，解得b＝3，进而求得a＝6.
故当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
7．(13分)甲、乙两地相距s千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p(单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为q千米/小时(q>p)．已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k. (1)把全程燃料费用y(单位：元)表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域；
(2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？
s
解 (1)由题意，知船每小时的燃料费用是kv2，全程航行时间为，
v－p
s
于是全程燃料费用y＝kv2· (p v－ps (2)由(1)，知y＝kv2· v－p v2－p2＋p2p2 ＝ks·＝ks[v＋p＋] v－pv－p p2 ＝ks[v－p＋＋2p] v－p p2p2 ≥ks[2?v－p?·＋2p]＝4ksp(当且仅当v－p＝，即v＝2p时等号成立)． v－pv－p①当2p∈(p，q]，即2p≤q时，ymin＝4ksp，此时船的前进速度为2p－p＝p； sq22 ②当2p?(p，q]，即2p>q时，函数y＝kv·在(p，q]内单调递减，所以ymin＝ks·， v－pq－p此时船的前进速度为q－p. 故为了使全程燃料费用最小，当2p≤q时，船的实际前进速度应为p千米/小时；当2p>q时，船的实际前进速度应为(q－p)千米/小时． [例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于 k 1 坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与 20发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 1 [自主解答] (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 2020k2020 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号． 121＋k2k＋k所以炮的最大射程为10千米． 1 (2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标?存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 20?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 ?a≤6. 所以当a不超过6千米时，可击中目标． 2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革1 新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50 61 万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 5至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 解：(1)设每件定价为t元， t－25 依题意，有?8－×0.2?t≥25×8， 1??整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x＞25时， 11 不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解， 6515011 等价于x＞25时，a≥＋x＋有解． x65 ∵ 1501 ＋x≥2 x61501·x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2. x6 因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．