y2x
当且仅当＝时，取等号．
xy
91
例：已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
xy
91?91
思维突破：“整体代换”，将1用＋代替，则x＋y＝(x＋y)??x＋y?，再化简，用基本xy不等式求解．
91
解析：∵＋＝1，
xy
91?9yx
＋＝10＋＋≥10＋2∴x＋y＝(x＋y)??xy?xy
9yx·＝16. xy
9yx91
当且仅当＝且＋＝1，即x＝12，y＝4时取等号．
xyxy∴当x＝12，y＝4时，x＋y有最小值为16.
总结：已知条件与“1”有关，常利用“1”进行整体代换，转化为能使积为定值的形式． 116
例：已知x，y为正实数，且＋＝1，求x＋y的最小值．
xy
116
解析：∵＋＝1，
xy
?1＋16?＝17＋16x＋y ∴x＋y＝(x＋y)·?xy?yx
≥17＋2
16xy
·＝25. yx
16xy116
当且仅当＝且＋＝1时，等号成立．
yxxy∴x＝5，y＝20时，x＋y有最小值25.
4．(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
2428A. B. C．5 D．6 55答案 C
113?
＋＝1. 解析 ∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得?5?yx?
13?1
∴3x＋4y＝(3x＋4y)??y＋x? 5
12y13x
＋4＋9＋? ＝?x?5?y
1313x12y?1313x12y＋＝＋?≥＋×2· x?5555?yyx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.
19
11．(2013·泉州模拟)正数x，y满足＋＝1.
xy(1)求xy的最小值； (2)求x＋2y的最小值．
19
解：(1)由1＝＋≥2
xy的最小值为36.
1919
·得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xyxyxy
19?2y9x
＋＝19＋＋≥19＋2 (2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)??xy?xy2y9x
当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋62. xy
2y9x
·＝19＋62，当且仅xy
3．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0
12
上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为 ( )
mnA．2 答案 C
解析 点A(－2，－1)，所以2m＋n＝1.
12?12n4m11
＋＝4＋＋≥8，当且仅当n＝2m，即m＝，n＝时等号 所以＋＝(2m＋n)??mn?mnmn42成立．
14
[典例] (2011·重庆高考)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．
ab[尝试解题] ∵a＋b＝2，∴1414??a＋b?＋∴＋＝?
ab?ab??2?52ab?＋ ＝＋?2?b2a?5
≥＋2 2
2ab· b2a
a＋b
＝1. 2
B．4
C．8
D．16
2ab9
当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立?. ＝?b2a?2?
149故y＝＋的最小值为.
ab29[答案]
2
——————[易错提醒]—————————————————————————— ???解答本题易两次利用基本不等式，如：
(a＋b)2∵a>0，b>0，a＋b＝2，∴ab≤＝1.
4又y＝\\f(1,a)＋\\f(4,b)≥241＝4， abab又ab≤1，∴y≥41＝4. 1但它们成立的条件不同，一个是a＝b，另一个是b＝4a.这显然是不能同时成立的，故不正确.
???使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.
???在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
题型五：利用基本不等式证明简单不等式
例3：已知正数a，b满足a＋b＝1，求证： 11
(1)ab≤； (2)a2＋b2≥；
421111
1＋??1＋?≥9. (3)＋≥4；(4)??a??b?ab111
(5)＋＋≥8； abab
1
思维突破：本题在考查均值定理等号何时成立的同时，也考查到形如“f(x)＝x＋”函
x数的单调性．
自主解答：(1)∵ab≤
a＋b11
＝，∴ab≤. 224
a2＋b2a＋b11
(2)∵≥＝，∴a2＋b2≥.
2222
11?111＋≥2ab·(3)方法一：＋＝(a＋b)?2＝4. ?ab?abab11?11baba＋＝1＋＋＋1≥2＋2方法二：＋＝(a＋b)?·＝4. ?ab?ababab
11111∵ab≤?. 方法三：＋≥2·≥24＝4?4??abab
11111
1＋??1＋?＝＋＋＋1≥9. （4）??a??b?abab方法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
a＋b1b
∴1＋＝1＋＝2＋，
aaa
1a
同理，1＋＝2＋，
bb11ba1＋??1＋?＝?2＋??2＋? ∴??a??b??a??b?ba?
＝5＋2??a＋b?≥5＋4＝9.
111
1＋??1＋?≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)． ∴??a??b?2
111111＋??1＋?＝1＋＋＋. 方法二 ??a??b?abab
111
由(5)知，＋＋≥8，
abab11111
1＋??1＋?＝1＋＋＋≥9. 故??a??b?abab
11111a＋b(5)＋＋＝＋＋ abababab11?＝2??a＋b?，
∵a＋b＝1，a>0，b>0， 11a＋ba＋bab∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ababba1111
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)． abab2例1 已知x>0，y>0，z>0.
yz??xz??xy?求证：??x＋x??y＋y??z＋z?≥8.
思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证． 证明 ∵x>0，y>0，z>0， yz2yzxz2xz∴＋≥>0，＋≥>0， xxxyyyxy2xy＋≥>0， zzz
yz??xz??xy?∴??x＋x??y＋y??z＋z? 8yz·xz·xy≥＝8.
xyz当且仅当x＝y＝z时等号成立．
探究提高 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.
111求证：＋＋≥9.
abc证明 ∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋ abcabcbcacab＝3＋＋＋＋＋＋
aabbcc
ba??ca??cb?＝3＋??a＋b?＋?a＋c?＋?b＋c? ≥3＋2＋2＋2＝9，
1
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
3
题型六：基本不等式的实际应用
例3 某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房
子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为
150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
思维启迪：用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0 12 解 由题意可得，造价y＝3(2x×150＋×400)＋5 800 x 16 x＋?＋5 800 (0 16 x＋?＋5 800 则y＝900?x?? 16 ≥900×2x×＋5 800＝13 000(元)， x16 当且仅当x＝，即x＝4时取等号． x故当侧面的长度为4米时，总造价最低． (2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若 x 每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均 8到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( ) B．80件 C．100件 D．120件 A．60件 答案 B 解析 设每件产品的平均费用为y元，由题意得 800x800xy＝＋≥2·＝20. x8x8 800x当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B. x89．(12分)为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无 盖长方体沉淀箱(如图所示)，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔 流出，设箱的底长为a m，高度为b m．已知流出的水中该杂质 的质量分别与a，b的乘积成反比，现有制箱材料60 m2.问：当a， b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)? 解 方法一 设y为流出的水中该杂质的质量分数， k 则y＝，其中k>0为比例系数，依题意，求使y值最小的a，b的值． ab根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)， 30－a 解得b＝ (0 2＋akkk 于是y＝＝ 2＝ab30a－a64 －a＋32－ a＋22＋a k ＝ 64??34－a＋2＋a＋2 ??