1??0?K?5(K)?5?0? ∵ K的分布密度为：f ?0其他?
要方程有根，就是要K满足(4K)－4343 (K+2)≥0。 解不等式，得K≥2时，方程有实根。 ∴
25.[二十三] 设X～N（3.2）
（1）求P (2
2
2
??5?31?P(K?2)?f(x)dx?dx?0dx? 22555????β?μ2
∵ 若X～N（μ，σ），则P (α ∴ ???α?μ??φ?? ??σ??5?3??2?3?P (2 ???? =0.8413－0.3085=0.5328 ?10?3???4?3?P (－4 ???? =0.9998－0.0002=0.9996 P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 ) ???2?3?2?3??????????? =1 ??2???2??? =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 ?3?3??=1－0.5=0.5 P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??2?（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ 得 又 P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) P (X≤C )=1=0.5 2C?3C?3???0.5,查表可得?0?P (X≤C )=φ?22 ∴ C =3 ??2(110,12)26.[二十四] 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求 （1）P (X≤105)，P (100 105?1101)P(X?105)??()??(?0.4167)?1??(0.4167)?1?0.661?0.33解:( 12 120?110100?11055P(100?X?120)??()??()??()??(?)121266 5?2?()?1?2?(0.8333)?1?2?0.7976?1?0.59526 x?110x?110(2)P(X?x)?1?P(X?x)?1??()?0.05??()?0.95.1212 x?110查表得?1.645.?x?110?19.74?129.74.故最小X?129.74.12 27.[二十五] 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？ 设螺栓长度为X P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12) =1－P (10.05－0.12 ??(10.05?0.12)?10.05(10.05?0.12)?10.05???????? =1－? ?0??0?.06.06?????? =1－{φ(2)－φ(－2)} =1－{0.9772－0.0228} =0.0456 28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？ 200?160120?1604040????????????????0.80????????∵ P (120＜X≤200)=? σσσσ???????? 又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x) ???4040?????1???0.80????∴ 上式变为 ?σσ??????? 4040????便得:??0.9???? 解出? σσ???? 再查表，得 30.[二十七] 设随机变量X的分布律为： X：－2， －1， 0， 1， 3 1111P：， ， ， ， 56515 求Y=X 的分布律 ∵ Y=X ：(－2) 1 P： 5 再把X 的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： ∴ Y： 0 1 4 1111 P： ? 61555 31.[二十八] 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=e的分布密度 X22 2 2 4040?1.281σ??31.25 σ1.28111 30 (－1) (0) (1) 111 6515222 (3) 11 302 9 11 3010?x?1?(x)??∵ X的分布密度为：f 0x为其他? Y=g (X) =eX是单调增函数 X=h (Y)=lnY，反函数存在 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1 又 且 ??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e 1?f[h(y)]?|h'(y)|?1?1?y?e?ψ(y)?y?∴ Y的分布密度为： ?0y为其他? （2）求Y=－2lnX的概率密度。 ∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数 又 且 Y?X?h(Y)?e2 反函数存在。 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0 β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞ yy??1?1220f[h(y)]?|h'(y)|?1??e?e?y????(y)?22?∴ Y的分布密度为：ψ ?0y为其? 32.[二十九] 设X～N（0，1） （1）求Y=e的概率密度 X1?2f(x)?e,???x???∵ X的概率密度是 2π Y= g (X)=e 是单调增函数 又 且 X2xX= h (Y ) = lnY 反函数存在 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为： 2(lny)??121?f[h(y)]?|h'(y)|?e?0?y???ψ(y)?? y2π?0y为其他? （2）求Y=2X+1的概率密度。 2 在这里，Y=2X+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）， 2 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X+1≤y) 2 ?y??1y?1??P??X? =? ?22?? 当y<1时：FY ( y)=0 x?y?21??1y?12?(y)?P??X???edx当y≥1时：F y?2?y2?12π??y?12??2 故Y的分布密度ψ( y)是： 当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 ?2x??1?2??edx 当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =??y??12???2?y?12 ?14e = 2π(y?1)y?1 （3）求Y=| X |的概率密度。 ∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0 当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)= ∴ Y的概率密度为： 当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 ?y?y1?2edx 2π2x?22yx?y1??2?22?edx?e当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =? ???πy2π??? 33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 的概率密度。 ∵ 又 且 3 Y=g (X )= X 3 1是X单调增函数， X=h (Y ) =Y3，反函数存在， α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：