ψ( y)= f [h ( h )]2| h' ( y)| =
12?133f(y)?y,???y???,但y?0 3?(0)?0
（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 的概率密度。
?x?ex)??法一：∵ X的分布密度为：f(0?2
x?0 x?0y=x2
Y=x是非单调函数
2
当 x<0时 y=x? 反函数是x??y 2
y
当 x<0时 y=x? x?2
O x y
??(?y)(?y)?f(y)(y)∴ Y～ fY (y) = f －y y 1?1?yy?0?e?e,y?0?2y2y? = ?0y?0?
~F(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y)法二：Y Y
y??y?xdx?0?1?e,y?0?e0? ?0,y?0??
?y?1e,?2y∴ Y～ fY (y) =??0,?y?0. y?0.
34.[三十一] 设X的概率密度为
2x??x?π?20f(x)? π??0x为其他?
求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0
当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =
当1 ∴ Y的概率密度ψ( y )为： arcsiny2xπ2xdx?dx22 π?arcsinyππ?0?y≤0时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (0 )' = 0 ?arcsinyπ2x2x??dx?dx0 = 1≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0 36.[三十三] 某物体的温度T (F )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求 5T?32)] θ(℃)的概率密度。[已知θ?(9o 2π1?y2 1?2?2(t)?e,???t???法一：∵ T的概率密度为f 222(t?98.6)? 5?g(T)?(T?32) 又 θ 是单调增函数。 99?h(θ)?θ?32 T 反函数存在。 5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为 92(θ?32?98.6)51?49ψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?e? 2π25 法二：根据定理：若X～N（α由于T～N（98.6, 2） 1， 281(θ?37)?9?e100,???θ???10π σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a σ ) 22 ????5160516053335????θ?T?~N?98.6?,?2?N,?2????????故 9999999???????????? 故θ的概率密度为： ?333?????9??22?2?? 1()?e52295??2??2??9??2?281(??37)9?100 ?e,??????10?? 第三章 多维随机变量及其分布 1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： 0,若第一次取出的是,??X? ??1,若第一次取出的是?? 0,若第二次取出的是,??Y? ??1,若第二次取出的是?? 试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )= P (X=0, Y=1 )= P (X=1, Y=0 )= P (X=1, Y=1 )= 或写成 X Y 0 0 1 101025?? 1212361025?? 1212362105?? 121236221?? 12123625 36 5 36 5 36 1 36 10945?? 12116610210?? 12116621010?? 121166211?? 1211661 （2）不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }= P {X=0, Y=1 }= P {X=1, Y=0 }= P {X=1, Y=1 }= 或写成 X Y 0 0 1 45 66 10 66 10 66 1 66 1 3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。 X 0 1 2 3 Y 0 0 0 3 35 12 35 3 35 2 35 2 35 0 j=0，12，i + j≥2，联合 1 0 6 35 6 35 2 1 35 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， 分布律为 P {X=0, Y=2 }= P {X=1, Y=1 }= P {X=1, Y=2 }= P {X=2, Y=0 }=22C2C24C7?1 35112CCC3224C76? 35121CC32C24C76? 3522C3C24C7?3 35