§3.2Malthus模型与Logistic模型
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模离散化为连续，方型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自便研究美丽的大自然行建立相应的模型。种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。
模型1马尔萨斯（Malthus）模型
马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），既：1dNdN?rN?r或（3.5）dtNdt（3.1）的解为：N(t)?Ner(t?t)00（3.6）
其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
故
ln2T?r2N0?N0erT模型检验模型预测
假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达19612年世界人×1014个，口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，2%，人口数Malthus模型实际上只有在群体总数大约每而到267035年，人口达年增加一倍。检查36×10151700个，只好一个人站在另一人的年至1961的260年人口实际不太大时才合理，到总数增大时，肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数所以Malthus模型假设的人口净生物群体的各成员之间由于有限的量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。增长率不可能始终保持常数，生存空间，有限的自然资源及食物它应当与人口数量有关。等原因，就可能发生生存竞争等现3.5x 1011马尔萨斯模型人口预测32.5象。2N/人几何级数的增长1.510.50195020002050t/年210021502200模型2 Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)
(3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限dt增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r(N)=r-aN恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，此时得到微分方程：K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘dNdNN积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）?(r?aN)N或?r(1?)N（3.8）也被称为统计筹算律的原因。dtdtKr(N)最简单的形式是常数，此为了得出一个有实际意义r(N)是未知函数，但根的模型，我们不妨采用一时得到的就是马尔萨斯模型。（3.8）可改写成：据实际背景，它无法用下工程师原则。工程师们对马尔萨斯模型的最简单的改dN拟合方法来求。进就是引进一次项（竞争项）在建立实际问题的数学模?k(K?N)N（3.9）（3.8）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学dt型时，总是采用尽可能简生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群单的方法。数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。从而有：dN?r(N)N（3.7）对（3.9）分离变量：?1???N1??dN?kKdtK?N?两边积分并整理得：令N(0)=N0，求得：
KN?1?Ce?kKtK?N0C?N0N0KN(t)?N0?(K?N0)e?kKt故（3.9）的满足初始条件N(0)=N0的解为：
（3.10）
易见：
N(0)=N0，limN(t)?Kt???N(t)的图形请看图3.5
图3-5