模型检验
用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。
大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：375N(t)??2.309t几乎完全吻合，见图3.6。1?74e图3-6
Malthus模型和Logistic模型的总结
Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。
例5赝品的鉴定
历史背景:
然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范·梅格伦（H·A·Vanmeegren），此人曾为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有将回答是：由于范17世纪荷兰名画家扬·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心·弗米尔（Jan Veermeer）的油画“捉奸”等卖给纳历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕粹德国戈林的中间人。可是，范·梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从未绘制“在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在埃牟斯他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以据，范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了。这种解释不能使怀疑者感到在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月1730世纪荷兰画家）日死去。
的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（Carnegie-一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当这项工作接近完成时，范梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此Mellon）大学的科学家们·基本上解决。他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。
原理与模型
测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的放射性现象。
放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射性与所存在的物质的原子数成正比。用N(t)表示时间t时存在的原子数,则：dN用λ来计算半衰期T:
?dN???N??dt??N(t0)?N0N1?令
N02dt??(t?t0)???N常数λ是正的，称为该物质的衰变常数许多物质的半衰期已被测定，如碳14，其T=5568；轴238，其T=45亿年。
其解为: N(t)?N0e与负增长的Malthus模ln2型完全一样T?t?t?则有:0?与本问题相关的其他知识:
(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节）(2)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素。从而，各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一般含量极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于2—3%的。
(3)从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留下，而其余物质则有90—95%被留在矿渣里，因而打破了原有的放射性平衡。（注：这些有关物理、地质方面的知识在建模时可向相应的专家请教。）