2malthus和logistic模型 - 图文(4)

例6新产品的推广

经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。

设需求量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已销售出的电饭包数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为K－x(t)，于是由统计筹算律：dx?x(K?x)记比例系数为k，则x(t)满足：dx?kx(K?x)dtdt还有两个奇解: x=0和x=K

此方程即Logistic模型，解为：x(t)?对x(t)求一阶、两阶导数：

cKkex'(t)??Kkt2(1?Ce)2?KktK1?Ce?Kkt32?Kkt?KktCKke(Ce?1)x??(t)??Kkt3(1?Ce)容易看出，x’(t)>0，即x(t)单调增加。

由x’’(t0)=0，可以得出Ce当t0，x’(t)单调增加，而当t>t0时，x’’(t)<0，x’(t)单调减小。实际调查表明，销售曲线与Logistic曲线十分接近，尤其是在销售后期，两者几乎完全吻合。?RKt0Kx(t0)?。=1，此时，

2所以初期应采取小批量生产并加在销出量小于最大需求量的一以广告宣传；从有20%用户到有半时，销售速度是不断增大的，80%用户这段时期，应该大批量销出量达到最大需求量的一半生产；后期则应适时转产，这样时，该产品最为畅销，接着销做可以取得较高的经济效果。售速度将开始下降。