yylHKHKlAOBxAOBx图11 备用图
2【答案】解:(1)依题意,得ax?2ax?3a?0(a?0)
解得x1??3,x2?1 ∵B点在A点右侧
∴A点坐标为(?3,0),B点坐标为(1,0) y?3x?33∵直线l:
y?3?(?3)?3?03当x??3时,
∴点A在直线l上
(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y?3x?3对称
3 ∴AH?AB?4
过顶点H作HC?AB交AB于C点 则AC?1AB?2,HC?23
2 ∴顶点H(?1,23)
把H(?1,23) 代入二次函数解析式,解得a??3 2 ∴二次函数解析式为y??3x2?3x?33
22(3)直线AH的解析式为y?3x?33 直线BK的解析式为y?3x?3 ??y?3x?3x?3 解得y?23 即K(3,23),则BK?4 由?3??y?3x?3AHyKCOBx
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∵点H、B关于直线AK对称
∴HN?MN的最小值是MB,过K作KD?x轴于D点。KD?KE?23 过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E 则QM?MK,QE?EK?23,AE?QK
∴BM?MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN?NM?MK的最小值 ∵BK∥AH
∴?BKQ??HEQ?90? 在Rt?BKQ 由勾股定理得QB?8 ∴HN?NM?MK的最小值为8 （不同解法参照给分）
AQyEKMHlNOBD
x14. 已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）． （1）求c的值； （2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数． 【答案】（1）c=1
（2）将C（0，1），A（1，0）得 a＋b＋1=0 故b=―a―1 由b2－4ac＞0，可得 (－a－1)2－4a＞0 即(a－1)2＞0 故a≠1，又a＞0
所以a的取值范围是a＞0且a≠1．
b
（4） 由题意0＜a＜1，b=―a―1可得－＞1，
2a
b
故B在A的右边，B点坐标为(－－1，0)
ab
C（0，1），D（－，1）
a
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bb
|AB|=－－1－1=－－2
aab
|CD|=－
a
11
S1－S2＝S△CDA－SABC=×|CD|×1－×|AB|×1
22
1b1b
=×（－）×1－×（－－2）×1
2a2a =1
所以S1－S2为常数，该常数为1． 15.如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=
k，点A在第一象 相交于点A，B. 已知点B的坐标为（-2，-2）
x限内，且tan∠AOx=4. 过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）把点B（-2，-2）的坐标，代入y=
k， x得：-2=
k，∴k=4． ?24 ． x即双曲线的解析式为：y=
设A点的坐标为（m，n）。∵A点在双曲线上，∴mn=4．…① 又∵tan∠AOx=4，∴m=4， 即m=4n．…② n又①，②，得：n2=1,∴n=±1.
∵A点在第一象限，∴n=1,m=4 ， ∴A点的坐标为（1，4） 把A、B点的坐标代入y=ax2+b x，得：??4?a?b,解得a=1，b=3；
??2?4a?2b∴抛物线的解析式为：y=x2+3x ；（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4， 代入y=x2+3x，得方程x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1（舍去）． ∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5， 又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=
1×5×6=15 ； 2（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积. 过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D ．
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因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（-4，4），CD∥AB， 所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12.
?y?x2?3x,?x?3,解方程组? 得?所以点D的坐标是（3，18）
?y?18,?y?2x?12,16.如图，在直角坐标系中，抛物线y?ax2?bx?c（a≠0）与x轴交与点A（-1,0）、B（3,0）两点，抛物线交y轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？
(3)设E为线段OC上的三等分点，链接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．
【答案】：（1）由题意，得：
?a?b?c?0??9a?3b?c?0?c?3? 解得：
?a??1??b?2?c?3?
22y??x?2x?3?(x?1)?4，顶点坐标为（1，4）. ∴=
（2）由题意，得 P(x, x-1) ，Q (x, ?x?2x?3)，
2121?(x?)?42224 ∴ 线段PQ=?x?2x?3-( x-1)= ?x?x?4 = 114 当x=2时，线段PQ最长为4。
（3）∵E为线段OC上的三等分点，OC=3, ∴E(0，1)，或E(0，2) ∵EP=EQ，PQ与y轴平行，
∴ 2×OE=?x?2x?3+( x-1)
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2
当OE=1时，x1=0，x2=3，点P坐标为（0，-1）或（3，2）。 当OE=2时，x1=1，x2=2， 点P坐标为（1，0）或（2，1）。
17.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．
(1)求△OAB的面积；
(2)若抛物线y??x2?2x?c经过点A． ①求c的值；
②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）． 【答案】 解：(1) ∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴， ∴AB=2，OB＝4， ∴S?OAB?11?AB?OB??2?4?4 22(2)①把点A的坐标（－2，4）代入y??x2?2x?c， 得?(?2)2?2?(?2)?c?4，∴c＝4 ②∵y??x2?2x?4??(x?1)2?4，
∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2）， ∴m的取值范围为l 18.在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. (1)当n＝1时，如果a=－1，试求b的值； (2)当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式； (3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， ①试求出当n=3时a的值； ②直接写出a关于n的关系式. - 15 -