yCDyM = 1.1厘NCBCB… FEOAxOAx图1 图2 【解】(1)由题意可知，抛物线对称轴为直线x=12， ∴－b12a=2，得b=1； (2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+1， 由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点M(12，2)， ??1=4a+2b+1，4∴??a=－3，??2=14a+1解得2b+1.??b=8 3.∴所求抛物线解析式为y=－43x2+83 x+1；
(3)①当n=3时，OC=1，BC=3， 设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx，
过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD， ∴ODCD=OC1BC=3，
设OD=t，则CD=3t， ∵OD2+CD2=OC2， ∴（3t）2+ t 2=12，∴ t=110
10=10
， ∴C(1010，31010)，又B(10，0)， ∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得
??0=10a+10b， ?310=110解得：a=－1010a+10b.
3； ??10 ②a=－n2+1n.
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yCBO… xA图3
19.将抛物线c1：y=-3x2+3沿x轴翻折，得抛物线c2,如图所示. （1）请直接写出抛物线c2的表达式.
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
【答案】解：(1)y=3x2-3.
(2)①令-3x2+3=0，得x1=-1,x2=1,则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）.∴A（-1-m，0），B（1+m,0）.
111AE时，如图①，（-1+m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)], ∴m= 33211当AB=AE时，如图②，（1-m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)], ∴m=2.
33当AD=
∴当m=
1或2时，B，D是线段AE的三等分点. 2②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M（-m，-3）.即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四
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边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m2+(3）2=[-(-1-m)]2, ∴m=1. ∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.
20.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y?ax2?bx?c经过点A、B和D（4，?（1）求抛物线的表达式。
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s 的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ2（cm2）。 ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当S取
2）。 35时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，4求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。 【答案】（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线y?ax2?bx?c过A、B、D三点得
1?a???4a?2b?c??26??12???16a?4b?c??解得?b??
33???c??2??c??2??121x?x?2 6322222（2）①S=PQ2=BP?BQ?(2?2t)?t?5t?8t?4（0≤t≤1） 抛物线的表达式为y?②由5t?8t?4?2y C O A P Q B D x 1511解得t=或t=（不合题意，舍去）
2410此时，P（1，－2），B（2，－2），Q（2，?3） 2533）或（1，－）或（1，?）
222若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R（3，?经代入抛物线表达式检验，只有点R（3，?所以抛物线上存在点R（3，?3）在抛物线上 23）使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。 2y （3）过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求。 因为如在对称轴上另取一点N，则
ND－NA=ND－NB - 18 - C O N A P M Q B D x 故点M到D、A的距离之差最大。 由B（2，－2）、D（4，?2210）求得直线BD的解析式为y?x? 33388x?1时，y??，故点M的坐标为（1，?） 3321．如图9，已知抛物线经过定点，它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为．．A（1，0）．．P′，过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值： （1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值； （2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由． 【答案】解：⑴ 设抛物线的解析式为y?ax2?1(a?0) ， ?抛物线经过A?1,0? ，?0?a?1,a??1 ， ?y??x2?1. ?P?、P关于x轴对称,且P?0,1?,?P?点的坐标为?0，－1? y ?P?B∥x轴,?B点的纵坐标为?1, 由?1??x2+1 解得x??2， ?B. C P . O D ?2,?1,?P?B?2. ?1 . A B . x ?OA??P?B，??CP?B∽?COA， ?CAOA12???． CBP?B22. P?. 图9 ⑵ 设抛物线的解析式为y?ax2?m(a?0) ?抛物线经过A?01，?，?0＝a?m,a??m ?y??mx2?m． ?mx2?m??m ?P?B∥x轴?B点的纵坐标为?m， 当y??m时，2?m?x2?2??0，?m?0，?x?2?0，?x??2， ?B?2,?m，?P?B?2， ? - 19 - 同⑴得CAOA12???. CBP?B22CA2?m为任意正实数时，?． CB2 22.孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y?ax2(a?0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得OA?OB?22（如图1），求a的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； ．．． （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 【答案】解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， ∵ OA?OB?22，∠AOB=90°， ∴AC=OC=BC=2，∴B(2，-2)， 将B(2，-2)代入抛物线y?ax2(a?0)得，a??（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E， ∵点B的横坐标为1，∴B (1，?∴BF?1. 21)， 21. 又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，又∠AEO=∠OFB=90°， 2∴△AEO∽△OFB，∴AEOF1???2 ∴AE=2OE， OEBF12设点A（?m，? 121212m）（m＞0），则OE=m，AE?m，∴m?2m 222- 20 -