2525?AO?时，点E在线段AB上；--------------------（1分） 4225当AO?时，点E在AB的延长线上。--------------------（1分）
2当
6、解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心,
1 ∴BD?DC?BC，AD⊥BC.……………………………………………………（1分）
2BD3AD4?. 在Rt△ADB中，∵sinB??,∴AB5AB5 ∵BC?AB?3, ∴AB=15，BC=18.
∴AD=12.……………………………………………………………………………（1分） ∵G是△ABC的重心，∴AG?23AD?8.………………………………………（1分）
（2）在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°，
同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,
∴∠MGD=∠B.…………………………………（1分） ∴sin?MGD?sinB? 在Rt△MDG中,∵DG?4, 51AD?4， 31611 ∴DM?，∴CM?CD?DM?……（1分）
33 在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴?BAD??CAD. ∵?QCM??CDA??DAC?90???DAC,
又 ∵?QGA??APQ??BAD?90???BAD, ∴?QCM??QGA,………………………………（1分） 又 ∵?CQM??GQA,
∴△QCM∽△QGA.………………………………（1分）
AQAG24?? ∴.……………………………（1分） MQMC11（3）过点B作BEBEAD,过点C作CFAD,分别交
直线PQ于点E、F，则
ADCF.…………………………………（1分）
∵BE ∴BE?AD,∴
APAG15?x8??,即, BPBExBE8x.………………………………（1分）
15?x 同理可得:
AQAGy8??,即, QCCF15?yCF ∴CF? ∵BE8(15?y).……………………………（1分） yADCF, BD?CD,∴EG?FG.
8(15?y)8x??8.（1分） ∴CF?BE?2GD,即
y15?x75?5x(0?x?15) ∴y?,.…………………（2分）
210?x7、解：（1）由题意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE=90° ∴∠MOF=∠FEN
由题意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN=90° ∴∠MFO=∠NFE
OMOFtan?FEN?tan?MOF， ∴△MFO∽△NFE ∴由∠FEN=∠MOF可得： ?NEEFOF1OM1∴?, ∴?. EF3NE3OMOF（2）法1：∵△MFO∽△NFE , ∴.又易证得：△ODF∽△EOF ， ∴?NEEFODOF， ?OEEFODOMNEOM11∴， ∴???. 联结MN, MN?DE. OENEOEOD22由题意，得四边形ODCE为矩形，∴DE=OC=4 ，∴MN=2
22在Rt△MON中，OM2?ON2?MN2,即x?y?4 ∴y?4?x2((0?x?2)
法2:易证:OD2?DF?DE, ∴(2x)2?DF?4，∴DF?x2, ∴OF?OD2?DF2?4x2?x4, xx2DMDF又易证：△DMF∽△OFN, ∴, ∴?, ?24yONOF4x?x∴y?4?x2((0?x?2)
2（3）法1：由题意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.
(2y)2?y2. ∴由题意，可得：OE?EF?DE ， ∴EF?4OF2xOFOD，∴2?，∴OF?xy. ?y2yEFOE由题意，可得：∠NOF=∠FEC ， ∴由△ECF与△OFN相似，可得：
OFEFOFEC??或. ONECONEFxyy2OFFE22? ①当?时，，∴y?2x， y2xONCE224又x2?y2?4，∴2x2?4?x2，解得：x1?3，x2??3（舍去）∴OD?3 333xy2xOFEC?2，∴y2?2， ②当?时，
yyONEF又x2?y2?4，∴x2?2，∴解得：x1?2，x1??2（舍去）∴OD?22 4综上所述，OD?22或3.
3
(2y)2?y2. 法2：由题意，可得：OE=2y，CE=OD=2x,OE?EF?DE ， ∴EF?4又由题意，可得：∠NFO=∠NOF=∠FEC， ∴由△ECF与△OFN相似，可得∠FEC=∠FCE或∠FEC=∠EFC. ①当∠FEC=∠FCE时，可证：∠FDC=∠FCD, ∴FD=FC, ∴FD=FE，即DE=2EF， ∴4?2y2，又x2?y2?4
2∴4?2(4?x2)，∴解得：x1?2，x1??2（舍去）∴OD?22 ②当∠FEC=∠EFC时，有CF=CE时，过点C作CG⊥EF于点G，∴EG?11EF?y2. 22易证得：EC2?EG?DE， ∴(2x)2?2y2，即y2?2x2，
22又x2?y2?4，∴2x2?4?x2，解得：x1?3，x2??3（舍去）
3344∴OD?3。综上所述，OD?22或3.
33
8、解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H. …………………………………………………(1分)
在Rt△AHD中，AH?AD?cos?A?BC?cos?A?1. ∵
AH1BC1AHBCAHAD，即. ?，?，∴??AD2CD2ADCDBCCD又∵∠C=∠A=60°，∴△AHD∽△CBD. …………………………………………………(2分)
∴∠CBD=∠AHD=90°. ∴BD⊥BC. ……………………………………………………(1分)
（2）①∵AD∥BC，∴∠ADB=90°，
∵∠BDH+∠HDA=90°，∠A+∠HDA=90°. ∴∠BDH=∠A=60°.
∵∠EDF=60°，∴∠BDH=∠EDF， 即∠EDH+∠BDE=∠FDB+∠BDE.
∴∠EDH=∠FDB. ………………………………………………………………………(2分)
又∵∠EHD =∠CBD =90°，∴△EHD∽△FBD. ………………………………………(1分)
[来源:学§科§网Z§X§X§K]∴
3x?1DHEH，∴. ∴y?4?2x(1?x?2).……………………………(2??BDBF232?y分)
②联结EF.
1°当点F在线段BC(点F不与点B、C重合)上时， ∵△EHD∽△FBD，∴
DHDEDHBD. 即. ??BDDFDEDF又∵∠BDH=∠EDF，∴△BDH∽△FDE. ∴∠DEF=90°. 在Rt△EDH中，DE?EH2?DH2?x2?2x?4.
∴EF?DE?tan60??3?DE?3x2?6x?12.…………………………………………(1分)
i) 当⊙E与⊙F内切时，x?(4?2x)?3x2?6x?12. 解得，x1?分)
ii)当⊙E与⊙F外切时，x?(4?2x)?3x2?6x?12.
解得x1?1（舍），x2??2（舍）. …………………………………………………………(1分)
2°点F与点B重合时，即 x=1 时，两圆外切. 3°当点F在线段BG(点F不与点B重合)上时，
易得CF?4?2x，且△BDH∽△FDE仍然成立. ∴EF?3x2?6x?12. 由1°计算可知x?分)
综上所述，当 x=1 时，两圆外切，当x?分)
9、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
解：（1）四边形ABDE是平行四边形…………（1分） 如图（1）∵ ∠ BAC=∠ DAE，AB=AC，AD=AE A E ∴ △ABC～△ADE……………………………（2分） ∴ ∠ E=∠ ACB=∠ B ∵ AE//BC
∴ ∠ EAB+∠ E=∠ EAB+∠ B=180o……（1分）
B C D ∴ AB//ED……………………………………（2分）
图（1） ∴ 四边形ABDE是平行四边形
（2）证明：
A ∵ AB=AC，M是BC中点
∴ AM⊥BC，AM平分∠ BAC………………（1分） E 同理AN⊥DE，AN平分∠ DAE……………（1分） ∵∠ MAN=∠ MAC+∠ CAD+∠ DAN N ∠ BAD=∠ BAM+∠ MAC+∠ CAD
∴∠ MAN=∠ BAD …………………………（1分） B M C D ∵△ABC～△ADE 图2
∴
9?579?57（舍），x2?（舍）. ………………………………………(1669?57时两圆内切. ………………………………………………(169?57时，两圆内切．……………………(16ABAM?……………………………………………………………………（1分） ADAN在△ABD和△AMN中
?ABAD??∴?AM AN???MAN??BAD∴△ABD～△AMN．………………………………………………………………（1分） （3）当x?242?4两圆外切 ………………………………………………（2分） 7当4?x?
242?4242?4时两圆相交……（1分）；x?两圆外离. ……（1分 77∠E = ?．…………………………………………………………（2分） （2）由题意易证得△ICE是直角三角形，且∠E = ?．
当△ABC ∽△ICE时，可得△ABC是直角三角形，有下列三种情况： ①当∠ABC = 90° 时，∵∠BAC = 2?，∠E = ?；
∴ 只能∠E = ∠BCA，可得∠BAC =2∠BCA． ∴ ∠BAC = 60°，∠BCA = 30°．∴ AC =2 AB． ∵ AB = 1 ，∴ AC = 2．…………………（2分）
②当∠BCA = 90° 时，∵∠BAC = 2?，∠E = ?；
∴ 只能∠E = ∠ABC，可得∠BAC =2∠ABC． ∴ ∠BAC = 60°，∠ABC = 30°．∴ AB =2 AC．
10、解：（1）∠BIC = 90°＋?，…………………………………………………（2分）
1．………………（2分） 2③当∠BAC = 90° 时，∵∠BAC = 2?，∠E = ?；
∵ AB = 1 ，∴ AC = ∴∠E = ∠BAI = ∠CAI =45°．
∴△ABC是等腰直角三角形．即 AC = AB． ∵ AB = 1 ，∴ AC = 1．…………………（2分）
∴综上所述，当△ABC ∽△ICE时，线段AC的长为1或2或
（3）∵∠E = ∠CAI，由三角形内角和可得 ∠AIE = ∠ACE．
∴ ∠AIB = ∠ACF．
又∵∠BAI = ∠CAI， ∴ ∠ABI = ∠F． 又∵BI平分∠ABC， ∴ ∠ABI = ∠F =∠EBC．
又∵∠E是公共角， ∴ △EBC ∽△EFI．…………………………（2分）
1． 23在Rt△ICF中，sin∠F=，设IC = 3k，那么CF = 4k，IF = 5k．
5在Rt△ICE中，∠E =30°，设IC = 3k，那么CE = 33k，IE = 6k．
BCIF5k??∵△EBC ∽△EFI．∴ ． BEFE4k?33k又∵BC=m， ∴ BE =
4?33m．………………………………（2分） 5