五年级上学期 第五讲，数论问题第01讲
整 除
【内容概述】
熟练掌握能被2、3、4、5、8、9、11整除的性质，并了解这些性质的来源．学会用筛选法找质数，发现一些和数论有关的问题． 【典型问题】
1.
【50501】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★）173□是一个四位数．数学
老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
2.
【50502】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★）如果六位数1992□□能被
105整除，那么它的最后两位数是多少？
3.
【50503】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）某个七位数1993□□□能
够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？
4.
【50504】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）从0，1，2，3，4，5，6，
7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少？
5.
【50505】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）修改31743的某一个数字，
可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少？
6.
【50506】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）在六位数11□□11中的
两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？
7.
【50507】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）已知四十一位数55?5
□99?9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
8.
【50508】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）用数字6，7，8各两个，
组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少？
9.
【50509】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）将自然数1，2，3，? 依
次写下去组成一个数：12345678910111213?．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？
10. 【50510】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★50502）1至9这9个数字，
按图4-1所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391）．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？
7 5 8
6
2 图4-1
4
1
9 3
11. 【50511】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）有15位同学，每位
同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，??，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．l号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问： (1) 说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？ (2) 如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．
12. 【50512】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）找出4个不同的正整
数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少？
13. 【50513】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）把若干个自然数1，2，3，?
乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？
14. 【50514】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）975?935?972?□，要使这
个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？
15. 【50515】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）如图4-2，依次排列的
5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个零？
13 12 152520图4-2
16. 【50516】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲 ★）求从1001开始第100个不被11
整除的数。 1110。
从1001开始，每11个数中有10个不能被11整除的数，前110个数中有100个不被11整除的数，故第100个数是1001+110-1=1110。
17. 【50517】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★)一个6位数，它的前3位组成的数加
后3位组成的数的和是220，且它能被7整除，求满足条件的所有6位数。
条件表明前3位和后3位都介于100~120之间，且差能被7整除，并且奇偶性相同，故差只能是0或14。最终检验得110110，117103，103117是满足条件的数。
18. 【50518】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★)甲是一个两位数，将其个位与十位交
换得到乙，丙为甲与乙之和，如果丙是一个数的平方，求甲。
设甲是ab，则乙是ba，丙为11×(a+b)；丙是完全平方数表明a+b也为11的倍数，从而a+b=11，甲可以是92，83，74，65，56，47，38，29。
19. 【50519】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★★★)甲是一个两位数，将其个位与十
位交换得到乙，设甲比乙大，丙是甲乙的差。
12，求甲； 53（2） 如果丙是乙的，求甲；
4（1） 如果丙是乙的（3） 如果“丁=
乙”，则丁有多少个不同的值？ 丙设甲为ab=10a+b，乙=10b+a，丙=9（a-b），其中a>b。（1）（2）两问都可以由乙丙关系求出a，b的比值，得（1）中甲=51，（2）中甲=21，42，63，84。
（3）观察（1）（2）发现a和b的每一个比值对应一个丁，从而仅需计算a，b在小于10内的不同比值即可，共有27组。
20. 【50520】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★）求出最小的四位数，使得它是75
的倍数，且各位数字互不相同。 1275。
21. 【50521】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★）各位数字互不相同的11的倍数中，
最小的那个是多少？ 132。
22. 【50522】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★）甲乙两人玩一个数学游戏，规则
如下：他们从甲开始依次划掉九位数123456789中的一个数字，各划掉3个数字后剩下一个三位数，如果这个三位数是偶数或者25的倍数，那么甲将获胜，否则乙取得胜利。甲乙谁将取得胜利呢？
乙胜。乙前两次划掉7和9。
23. 【50523】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）请写出五个正整数，使得它
们任何两个数的和都是其差的倍数。 12，14，15，16，18（答案不唯一）。