24. 【50524】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）（1）能否找到五个正整数（可
以相同），使得其中的任意三个之数和都是另两个数之和的倍数。（2）能否找到五个互不相同的正整数，使得其中任意四个数之和都是剩下一个数的倍数。 （1）可以。
a?b?ca?b?da?c?d、与
d?ec?eb?ea?b?e2b?2a?都小于2，只能是1，所以b?c?d，e＝a＋b，又由是整数可知a＝b。
c?d2b例如：1，1，1，1，2即可，不妨设这5个数为a?b?c?d?e，则（2）可以。
例如1，2，3，6，12。
25. 【50525】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★★）三位同学一起算一个式子，对连
续的4个奇数求和，第一个同学说：“我算出来是2004；”第二个同学说：“我觉得是2005；”第三个同学说：“答案应该是2006”，请问哪些同学一定算错了？ 三位同学都算错了。
因为任意连续4个奇数的和都是8的倍数。
26. 【50526】(资坤, 五上第5讲整除，数论第1讲★★★)将1，2，3，?依次写下去组成
一个数12345678910111213?。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被225整除，那么这个组成的数的各位数字之和是多少？ 1053。
225=25×9。而能被25整除的数的末两位数能被25整除，于是我们只要考虑写到25，50，75，100，…的数，哪个的各位数字之和最先能被9整除即可。试验知125是最小的。
27. 【50527】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）一个六位数87x3xy：
（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除； （2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；
（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除； （4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除； （5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除；
（1） 由已知要求需
98+7+3+2x+y，即
92x+y，且0?x,y?10，因此（x，y）只能是如下
组合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）
（2） 验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件。 （3） 欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且
32x+y，即要求
62x+y，这样的组合
只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）。
（4） 为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11.因此即
这样组合仅有（8，5）一组。
（5） 为使能整除91，则要求
112x-y，
9187x-3xy87x?x+51(mod91)3xy?10x+y+27(mod91)，，，
即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）
28. 【50528】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ★★★）如果把一个四位数abcd的
前面插入一个2，中间插入00，末尾添上7，变成2ab00cd7，并且这个新的8位数还是11的倍数，那么就称这样的四位数为“2007的11数”。那么“2008的11数”有几个？ 818个。
通过分析，可知四位数abcd必须是除以11余5的。所以从1006到9993一共881个。
29. 【50529】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ★★）如果把一个四位数abcd插入
2007的中间，变成20abcd07，并使得新的8位数是7的倍数，那么这样的四位数就称为“2007的7数”。那么“2008的7数”数有多少个？ 1286个
通过分析，四位数abcd应该正好是7的倍数就行。所以，从1001到9996一共1286个。
30. 【50530】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ★★★）是否存在一个各位数字互
不相同的数，使得它是999999的倍数？如果存在，请构造，如果不存在，请说明理由。 不存在。
因为各位数字互不相同，至多是10位数。根据999999的整除性，将该多位数从右往左六位断开后求和，这个和一定是999999。通过分析这个加法竖式，可知其无进位。所以一定会有两个数字9，出现重复。
? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? 9 9 9 9 9 9
31. 【50531】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）任意连续n个自然数的乘积都
是8100的倍数，那么n最小是多少？ 10。
8100是4，25以及81的倍数，任意连续10个自然数中必有两个2的倍数，两个5的倍数，三个3的倍数（其中有一个还是9的倍数）。
32. 【50532】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）从1～2008中选取连续六个数
的乘积其末尾最多能有几个0？
5个0。1～2008中数的质因数分解中含5最多的一个也只能含有4个5，在一个数是25的倍数时，它前后6个数都不可能是25的倍数，所以连续六个数的积最多有5个0。而625×626×627×628×629×630末尾有5个连续的和。
33. 【50533】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）用数字1，2，3各两次组成一
个六位数，使它是56的倍数。
113232。考虑末三位为8的倍数只能为232或者112，312，再考虑被7整除的性质为前三位与后三位的差是7的倍数。
34. 【50534】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）各位数字互不相同的八位数中
最小的45的倍数是多少？
10247895。从0～9中去掉两个数字使得剩下的八个数字之和为9的倍数，显然前两位为10时最小。末位只能为5，去掉两个数字和为9，只能为2和7或者3和6，这时形成的最小的八位数为10247895。
35. 【50535】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）由1，2，3形成的63的倍数
中最小的一个是多少？
1323。由1，2，3组成的9的倍数最小的是333，此时不是7的倍数，所以至少是个四位数，1233不是7的倍数，而1323满足要求。
【提高题】
36. 【50536】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）对于一张卡片上的三位数669，
把卡片倒过看是699，他们都是3的倍数，是否存在一个三位数，它是7的倍数，把它写在卡片上倒过来看是9的倍数？
861或168。能倒过来的数是0，1，6，8，9；其中三个数之和为9的倍数可以是0、1、8；0、9、9；1、8、9；6、6、6及9、9、9。要用它们倒过来形成7的倍数可以是用1，8，9倒过来变为1，
8，6。
37. 【50537】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）1□2□□3□□□4是一个各
位数字互不相同的十位数，它是否可以为11的倍数？如果可以，请求出最大的满足要求的十位数，如果不能请说明理由。
1927836504。提示：考虑奇偶位上的差。
38. 【50538】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）由1，2，3，4，5，6各一
个组成的六位数使它是37的倍数，这个六位数最大的是多少？
654123。这个数必须是3的倍数，且前三位与后三位求和是37的倍数。当前三位为654时它与后三位相加不进位，其和只能为777，888，999，但是由数字和可知只能为777。
39. 【50539】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）一个多位数，它的各位数字互
不相同，且任意的连续两个数字组成的两位数都是7的倍数，那么这个多位数最大是多少？ 98421。如果这个多位数中有7，它只能是70；如果含有6，它的前后依次只能为5，3，而3后只能为5，5前只能为3，这三个数只能为356，635或563。更大的数包含的数字只能为1，2，4，8，9，所以最大为98421。
40. 【50540】（王坤，五上05讲，数的整除★★★）有多少个两位数，在这个两位数的中
间加入0～9的任何一个数后形成的三位数都不是11的倍数？
9个。考虑被11整除的性质，得到这个两位数的个位与十位之和为除以11不能余0～9，只能是