v2(2)对球B受力分析及应用牛顿第二定律得mgcos??N?m,
L设杆对小球A的弹力为N?，小球A对墙的弹力大小为Nl，则
N?N?,N1?N?sin?,
解得球A对墙的弹力为N1?mg(3cos??2)sin?. 当??arccos2时，小球A离开墙角． 312．如图所示，三个物体质量mA?mB?mC，物体A与斜面
间动摩擦因数为
3，斜面体与水平地面间摩擦力足够大，物体C8距地面的高度为0. 8 m,斜面倾角为300．求：
(1）若开始时系统处于静止状态，斜面体与水平地面之间有无摩擦力？如果有，求出这个摩擦力；如果没有，请说明理由．
(2）若在系统静止时，去掉物体B，求物体C落地时的速度．
解：(1)以A、B、C和斜面整体为研究对象，处于静止平衡，合外力为零，因水平方向没有受到其他外力，所以斜面和地面间没有摩擦力．
(2)
10m/s 213．在建筑工地上，我们常常看到工人用重锤将柱桩打入地下的情景．对此，我们可以建立这样一个力学模型：重锤质量为m，从高H处自由下落，柱桩质量为M，重锤打击柱桩的时间极短且不反弹．不计空气阻力，桩与地面间的平均阻力为f。利用这一模型，有一位同学求出了重锤一次打击柱桩进入地面的深度．
设柱桩进人地面的深度为h，则对垂锤开始下落到锤与柱桩一起静止这一全过程运用动能定理，得mg(H?h)?Mgh?fh?0?0
得出h?mgH
(M?m)g?f(1)你认为该同学的解法是否正确？请说出你的理由． (2)假设每一次重锤打击柱桩时锤的速度为一定值，要使每一次重锤打击后桩更多地进入地下，为什么要求锤的质量远大于桩的质量？
解：(1)不对，因为在锤与桩碰撞过程中系统动能有损失． (2)设锤每次打桩的速度都是v，发生完全非弹性碰撞后的共同速度是v?，则mv= (M+ m)
1m2v22v?，非弹性碰撞后二者的动能为EK?(M?m)?
22(M?m)当m>>M时，碰后二者的动能越趋向于
12mv（初动能），即能量在碰撞过程中的损失2第 26 页 共 47 页
趋向于零，故要求m>>M.
14．一辆汽车的质量是5×103 kg，发动机的额定功率为60 kW,汽车所受阻力恒为5 000 N，如果汽车从静止开始以0. 5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后又以额定功率运动了一段距离后汽车达到了最大速度，在整个过程中，汽车运动了125 m．问在这个过程中，汽车发动机的牵引力做功多少？
下面是甲、乙两位同学的解法：
甲同学：t?4
2s2?125?s?22.36s a0.5W=Pt=6×10×22.36 J =1. 34×106 J.
乙同学：F=ma＋f=7500 N.
W=Fs=7 500×125 J =9. 375×105 J.
请对上述两位同学的解法做出评价，若都不同意请给出你的解法． 解：甲、乙两位同学的解法都不正确．
甲同学把125 m全部当做匀加速直线运动的位移，求出运动时间t，这一步就错了，然后又用公式W=Pt来求牵引力做功，而汽车在做匀加速运动的过程中功率是逐渐变大的，这一步骤又错了．
而乙同学的做法中，第一步是正确的，但力F是汽车做匀加速运动时的牵引力，当汽车以额定功率行驶时，牵引力是变力，做功不能用W=Fs来计算．
P6?104正确的解法是：汽车行驶的最大速度为v??m/s?12m/s
f5000根据动能定理得W?fs?1mv2?0， 2W?1mv2?fs?9.85?105J。 215．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲表示小滑块(可视为质点)沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面内A、A?点之间来回滑动。A、A?点与O
0
点连线与竖直方向之间夹角相等且都为?，均小于10，图乙表示滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，且图中t＝0为滑块从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息，求小滑块的质量、容器的半径及滑块运动过程
2
中的守恒量。(g取10m／s)
解：由图乙得小滑块在点A、A?之间做简谐运动的周期为T??5s，由单摆振动周期公
T2gR?0.1m．在最高点A，有 式T?2?，得半球形容器半径为R?24?gFmin?mgcos??0.495N,
在最低点B，有Fmaxv2?mg?m?0.510N,
R第 27 页 共 47 页
从点A到点B过程中，滑块机械能守恒，则联立解得cos?=0. 99，m=0. 05 kg. 滑块的机械能为E?12mv?mgR(1?cos?) 212mv?mgR(1?cos?)?5?10?4J 216．杂技演员在进行“顶杆”表演时，用的是一根质量可忽略不计的长竹竿，质量为30 kg的演员自杆顶由静止开始下滑，滑到杆底时速度正好为零．已知竹竿底部与下面顶杆人肩部之间有一传感器，传感器显示顶杆人肩部的受力情况如图所示，取g= 10 m/s2.
求：(1)杆上的人下滑过程中的最大速度； (2)竹竿的长度．
解：(1)以人为研究对象，人加速下滑过程中受重力mg和杆对人的作用力F1，由题图可知，人加速下滑过程中杆对人的作用力F1为180 N．由牛顿第二定律得
mg一F1 =ma，则a=4 m/s2.
1s末人的速度达到最大，则v= at1=4 m/s.
(2）加速下降时位移为：s1?12at1=2 m. 212mv, 2减速下降时，由动能定理得(mg?F2)s2?0?代入数据解得s2?4m,s?s1?s2?6m.
17．如图所示，静止在水平桌面的纸带上有一质量为0. 1kg的小铁块，它离纸带的右端距离为0. 5 m，铁块与纸带间动摩擦因数为0.1．现用力向左以2 m/s2的加速度将纸带从铁块下抽出，求：（不计铁块大小，铁块不滚动）
(1)将纸带从铁块下抽出需要多长时间？ (2)纸带对铁块做多少功？
解：(1)设纸带的加速度为a1，铁块的加速度为a2．则
a1?2m/s,a2??g?1m/s,L?(2)s铁块?22121a1t?a2t2 ，得t=1s。 22v铁块1a2t2,W?fs??mgs铁块?0.05J, 212?a2t?1m/s,W??EK?mv铁块?0.05J.
218．质量为m的小球B用一根轻质弹簧连接．现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x0，如图所示，小球A从小球B的正上方距离为3 x0的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，并恰能回到O点（设两个小球直径相等，且远小于x0，略小于直圆筒内径），已知弹簧的弹性势能为
1k?x2，其中k为弹簧的劲度系数，?x为弹簧的形变量．求： 2(1）小球A的质量．
(2）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值．
解：(1）由平衡条件得mg = k x0，设球A的质量为m，与球B碰撞前的速度为v1，由
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机械能守恒定律得3mgx0?12mv1 2?设球A、B结合后的速度为v1，由动量守恒定律得
?v1?m6gx0
m?m1由于球A、B恰能回到O点，根据动能定理得
112?2?(m1?m)gx0?kx0?0?(m1?m)v1
22解之得 m1?m.
(2）由B点向下运动的距离为x1时速度最大，加速度为零．即(m1?m)gx1?k(x1?x0)，因为mg?kx0，m1?m，所以x1?x0．由机械能守恒得
111?2122(m1?m)gx1?(m1?m)v1?kx0?(m1?m)vm?k(x1?x0)2
2222vm?2gx0.
19.一个质量为m=0. 20 kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光竖直的圆环上，弹簧固
定于环的最高点A，环的半径R=0. 50 m,弹簧原长L0 = 0. 50 m，劲度系数为4.8 N/m，如图所示，若小球从图示位置B点由静止开始滑到最低点C时，弹簧的弹性势能E弹=0. 60J；求：
(1)小球到C点时的速度vC的大小．
(2)小球在C点时对环的作用力（g=10 m/S2). 解：小球由B点滑到C点，由动能定理得
mg(R?Rcos600)?W弹力?得vC=3 m/s.
12mvC，W弹力??0.60J 2(2）在C点时有F弹?k(2R?l0)?2.4N, 设环对小球作用力为N，方向指向圆心，则
F弹?N?mg?mv弹R2,N?3.2N.
小球对环作用力为N?, N???N??3.2N.
20．如图所示，顶角为2?、内壁光滑的圆锥体倒立竖直固定在P点，中心轴PO位于竖直方向，一质量为m的质点以角速度?绕竖直轴沿圆锥内壁在同一水平面上做匀速圆周运动，已知a、b两点为质点m运动所通过的圆周一直径上的两点，求质点m从a点经半周运动到b点时，圆锥体内壁对质点施加的弹力冲量．
解：质点做匀速圆周运动，设所受弹力为F，圆周运动的半径为R，
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在半个圆周内质点速度方向转过了?角，经历的时间为t，小球所受弹力的竖直分量、水平分量分别为Fsin??mg,Fcos??mR?2,???t，
弹力的竖直分量冲量为I1 =mgt,
由动量定理可知，弹力水平分量冲量为I2?mR??(?mR?)?2mR?, 弹力的合冲量为I?I1?I2,I?222mg???4cot2? I22cot? ?I1?方向与竖直方向的夹角为?，得tan??21．如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m
的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动，已知球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力．求：
(1)球B在最高点时，杆对水平轴的作用力大小． (2）球B转到最低点时，球A和球B对杆的作用力分别是多大？方向如何？
解：(1)球B在最高点时速度为v0，有
v mg?m0，得v0?2gL.
2L此时球A的速度为
211v0?2gL，设此时杆对球A的作用力为FA，则 22(v0/2)2,FA?1.5mg,, FA?mg?mLA球对杆的作用力为FA?1.5mg,.
水平轴对杆的作用力与A球对杆的作用力平衡，再据牛顿第三定律知，杆对水平轴的作用力大小为F0=1. 5 mg.
(2)设球B在最低点时的速度为vB，取O点为参考平面，据机械能守恒定律有
?11v2mv0?mgL?m(0)2222
11v2??mg?2L?mvB?mgL?m(B)2222mg?2L?解得vB?26gL。 5(vB/2)2对A球有F1?mg?m
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