AA′=的路径长为
，B端沿直线OM向右滑动到B′，则木棒中点从P随之运动到P′所经过 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP=AB=A′B′=OP′，即P是随之运动所经过的路线是一段圆弧；在Rt△AOB中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOP=30°，OA=a，则易求出OA′=OA﹣AA′=a，即可得到△A′OB′为等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，则∠POP′=∠A′OP′﹣∠AOP=15°，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OP、OP′，如图， ∵ON⊥OM，P为AB中点， ∴OP=AB=A′B′=OP′，
∵AB=2a ∴OP=a，
当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到O的距离始终为定长a， ∴P是随之运动所经过的路线是一段圆弧， ∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA=a，
∵AA′=（﹣）a，OA′=OA﹣AA′=a， ∴sin∠A′B′O=
=
，
∴∠A′B′O=45°， ∴∠A′OP'=45°
∴∠POP′=∠A′OP′﹣∠AOP=15°， ∴弧PP′的长=
=
πa，
πa．
即P点运动到P′所经过路线PP′的长为故答案为：
．
【点评】本题考查了弧长公式：l=（n为弧所对的圆心角的度数，R为半径）．也考
查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度的直角三角形三边的关系和等腰
直角三角形的性质．
三、解答题（共4个题，每题8分，共32分） 16．（8分）（2016春?自贡校级月考）计算：
+
．
【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算，再分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：原式=4+1﹣3﹣（+1） =5﹣3﹣﹣1 =4﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．
17．（8分）（2012?自贡）已知a=
，求代数式
的值．
【分析】在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先把括号里式子通分，再进行分式的乘除． 【解答】解：原式=当a=原式=
时， =
．
×
=，
【点评】本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值． 18．（8分）（2012?自贡）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个． 求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）
（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？ 【分析】（1）设弟弟每天编x个中国结，根据弟弟单独工作一周（7天）不能完成，得7x＜28；根据哥哥单独工作不到一周就已完成，得7（x+2）＞28，列不等式组进行求解； （2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，结合（1）中求得的结果，列方程求解． 【解答】解：（1）设弟弟每天编x个中国结，则哥哥每天编（x+2）个中国结． 依题意得：
，
解得：2＜x＜4． ∵x取正整数， ∴x=3；x+2=5，
答：弟弟每天编3个中国结，哥哥每天编5个中国结．
（2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同， 依题意得：3（m+2）=5m， 解得：m=3．
答：弟弟每天编3个中国结；若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作3天，两人所编中国结数量相同．
【点评】本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． 19．（8分）（2011?自贡）我市某校九年级一班学生参加毕业体考的成绩统计如图所示，请根据统计图中提供的信息完成后面的填空题（将答案填写在相应的横线上）
（1）该班共有 56 名学生；
（2）该班学生体考成绩的众数是 36 ；男生体考成绩的中位数是 36 ；
（3）若女生体考成绩在37分及其以上，男生体考成绩在38分及其以上被认定为体尖生，则该班共有 19 名体尖生． 【分析】（1）根据直方图上所给的数据即可求出总人数；
（2）根据众数：一组数据中出现次数最多的数据；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，可得到答案．
（3）根据直方图和男女生体尖生的标准分别计算出男女生的人数，再相加即可． 【解答】解：（1）2+2+1+1+3+3+3+5+8+6+5+3+3+4+2+3+1+1=56；
（2）众数是出现次数最多的数，36出现的次数最多，故众数是36；
男生考试的分数分别是：32，32，33，34，34，34，35，35，35，35，35，36，36，36，36，36，36，37，37，37，38，38，38，38，39，39，39，40， 位置处于中间的数是36，36，故中位数是：（36+36）÷2=36；
（3）女生体考成绩在37分及其以上的人数有：5+3+2+1=11（人）， 男生体考成绩在38分及其以上的人数有：4+3+1=8（人） ∴11+8=19．
故答案为：56；36；36；19．
【点评】此题主要考查了看直方图，中位数，众数，关键是正确读图，能从图中获取正确信息．
四、解答题：（共2个题，每小题10分） 20．（10分）（2012?自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度；
（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD． 【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线， ∴AB⊥AP， ∴∠BAP=90°；
又∵AB=2，∠P=30°， ∴AP=
=
=2
，即AP=2
；
（2）证明：如图，连接OC，OD、AC． ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴∠ACP=90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； 在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）； 又∵AP是⊙O的切线，A是切点， ∴AB⊥AP， ∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．
【点评】本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． 21．（10分）（2011?自贡）如图，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A1BC1．A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F． （1）试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； （2）求ED的长．
【分析】（1）先根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理求出∠A1=∠A=30°，再根据旋转角为30°得到∠ABA1=30°，从而得到∠A1=∠ABA1，然后根据内错角相等，两直线平行可得A1C1∥AB，同理AC∥BC1，最后根据平行四边形的定义以及菱形的定义即可证明；
（2）过点E作EG⊥AB于点G，根据等腰三角形三线合一的性质可得AG=AB=，再利用锐角三角形函数求出AE的长度，然后根据ED=AD﹣AE代入数据进行计算即可求解． 【解答】解：（1）四边形BC1DA是菱形．理由如下： ∵∠ABC=120°，AB=BC， ∴∠A=（180°﹣120°）=30°， 由题意可知∠A1=∠A=30°， ∵旋转角为30° ∴∠ABA1=30°， ∴∠A1=∠ABA1， ∴A1C1∥AB， 同理AC∥BC1，
∴四边形BC1DA是平行四边形， ∵AB=BC1，
∴四边形BC1DA是菱形；
（2）过点E作EG⊥AB于点G， ∵∠A=∠ABE=30°，AB=1， ∴AG=GB=，