教师版.专题五. 不等式. 程序框图与推理论证 一.不等式
1．比较两个实数大小的方法
a－b>0?a>b?a，b∈R?，??
(1)作差法?a－b＝0?a＝b?a，b∈R?，
??a－b<0?a ??a (2)作商法?b＝1?a＝b?a∈R，b>0?， a??b<1?a 性质内容 a>b?b b>1?a>b?a∈R，b>0?， 2．不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 特别提醒 ? ? ? a>b，b>c?a>c a>b?a＋c>b＋c 可乘性 a>b????ac>bc ?c>0?a>b????ac a>b>0????ac>bd>0 ?c>d>0?? a，b同为正数 a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1) nna>b>0?a>b(n∈N，n≥2) 1111ab ①a>b，ab>0?a a 若a>b>0，m>0，则：①a<；a>(b－m>0)．②b>；<(b－ a＋ma－mb＋mbb－m m>0). 4．基本不等式ab≤ a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 5．几个重要的不等式 ?1?a2＋b2≥2ab，a，b∈R；ba ?2?a＋b≥2，ab>0； 2 ? ?当且仅当a＝b时 ?a＋b??等号成立.???3?ab≤，a，b∈R； ?2? ?a＋b?a＋b? ?，a，b∈R??4?≥?2?2? 2 2 2 6．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 a＋b ，几何平均数为ab，基本不等2 式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 7．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2 (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记： 4和定积最大) 8.一元二次不等式 (1)．三个“二次”之间的关系 判别式 Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 2Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1b＝x2＝－ 2a??b??x ?x≠－?2a???没有实数根 {x|x (1)不等式ax＋bx＋c>0对任意实数x恒成立??或? ?c>0?Δ<0. 2 ?a＝b＝0，?a<0，?(2)不等式ax＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?或? ?c<0?Δ<0. 2 9.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 Ax＋By＋C＞0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线 各个不等式所表示平面区域的公共部分 (2).确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤 10．线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 由变量x，y组成的不等式(组) 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 关于x，y的一次函数解析式 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 简单线性规划问题的图解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即 例一． 1.若a?b?0，c?d?0，则一定有（ D ） abababab? B．? C．? D．? cdcddcdc2.已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等 A． 式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于( A ) A．－3 B．1 C．－1 D．3 3.对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围 ．解得x<1或x>3. 4.已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( B ) A．(－∞，－1) C．(－1,22－1) B．(－∞，22－1) D．(－22－1,22－1) 5.不等式logax?ln2x?4（a?0且a?1）对任意x?(1,100)恒成立，则实数的取值范围为 ． ?1?1?4e??,? 【答案】?0,???6.设x>y>z，且 11n ＋≥(n∈N)恒成立，则n的最大值为( B ) x－yy－zx－z D．5 A．2 B．3 C．4 练习一 ab 1.若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②d＋c＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中，成立的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( B ) A．[－4,1] B．[－4,3] C．[1,3] D．[－1,3] 2 ?x＋ax，x≥0， 3．已知函数f(x)＝?2为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为 ?bx－3x，x＜0 ________答案：(－∞，4) 4.已知实数x,y满足ax?ay(0?a?1)，则下面关系是恒成立的是（ D ） A. 11 B.ln(x2?1)?ln(y2?1) C.sinx?siny D.x3?y3 ?22x?1y?15.已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________ 答案：2 例题二 a2211.已知，均为正数，且ab?a?2b?0，则??b2?的最小值为 ． 4ab【答案】7