而4x﹣3x=4由0＜x＜，得﹣∴22， ≤4x﹣3x＜0， =， ∴k，即k的最大值为． ， 故答案为：点评： 该题考查函数恒成立、不等式、二次函数的性质等知识，考查学生分析转化能力． 二、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（12分）（2014春?无锡期末）如图，四边形ABCD由不等式组
所围城的
平面区域，动直线y=x+b与线段BC、CD分别交于M，N． （Ⅰ）现向四边形ABCD内丢一粒豆子，求豆子落在三角形MNC内的概率； （Ⅱ）若将横、纵坐标均为整数的点称为格点，记事件A为：在四边形ABCD内取一格点恰好落在三角形MNC（不含边界）内，若P（A）=
，求b的取值范围．
考点： 几何概型；古典概型及其概率计算公式． 专题： 综合题；概率与统计． 分析： （Ⅰ）是几何概型，计算面积即可； （Ⅱ）根据P（A）=，可得落在三角形MNC（不含边界）内的格点有6个，即可求b的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）b=﹣3时，直线为y=x﹣3，此时N（3，0），M（0，﹣3）， ∴S△MNC=， 第11页（共17页）
∵SABCD=36， ∴豆子落在三角形MNC内的概率为=； （Ⅱ）四边形ABCD内的格点共有25个，落在三角形MNC（不含边界）内的格点有6个， ∴﹣2＜b≤﹣1． 点评： 本题考查概率计算，正确区分两种概型是关键． 16．（12分）（2014春?无锡期末）已知关于x不等式2x﹣a＜0的解集为A，不等式x﹣（3+a）x+2（1+a）≥0的解集为B． （Ⅰ）当a=﹣4时，求A∪B； （Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围． 考点： 一元二次不等式的解法；并集及其运算；交集及其运算． 分析： 2（I）由不等式2x﹣a＜0可得解集A=．不等式x﹣（3+a）x+2（1+a）2
≥0因式分解为（x﹣2）（x﹣1﹣a）≥0． 当a=﹣4时，A={x|x＜﹣2}，B={x|x≤﹣3或x≥2}．即可得出A∪B． （II）由A∩B=A，可得A?B．对1+a与2的大小关系进行讨论即可得出． 解答： 解：（I）由不等式2x﹣a＜0解得．∴解集A=． 不等式x﹣（3+a）x+2（1+a）≥0化为（x﹣2）（x﹣1﹣a）≥0． 当a=﹣4时，A={x|x＜﹣2}，B={x|x≤﹣3或x≥2}． ∴A∪B={x|x＜﹣2或x≥2}． （II）∵A∩B=A，∴A?B． ∵A=． 2当1+a＞2时，即a＞1时，B={x|x≤2或x≥1+a}， ∴，解得a≤4．∴1＜a≤4． 当1+a=2时，即a=1时，B=R．满足A?B，∴a=1． 当1+a＜2时，即a＜1时，B={x|x≤1+a或x≥2}， ∵A?B，∴，解得a≥﹣1，∴﹣2≤a＜1． 综上可得：﹣2≤a≤4． 点评： 本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算关系等基础知识，考查了分类讨论思想方法，属于难题． 17．（14分）（2014春?无锡期末）在△ABC中，已知tanA=，tanB=，若△ABC的最小边长为． （Ⅰ）求△ABC最大边的长；
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（Ⅱ）若D为线段AC上一点，且AD=2DC，求BD的长． 考点： 正弦定理；两角和与差的正切函数． 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）△ABC中，由条件可得 0＜A＜B＜，sinA=，可得a为最小边，a=，c为最大边．根据tan（A+B）的值，可得A+B=的值． （Ⅱ）由tanB=，可得sinB=，C=，再由正弦定理求得c，利用正弦定理求得 b=3，可得 AD=2，CD=1，△BCD中，由余弦定理求出BD的值． 解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵已知tanA=，tanB=，∴0＜A＜B＜∴a为最小边，a=． 再根据C为最大角，可得边c为最大边． ，C＞，sinA=，∵tan（A+B）===1，∴A+B=，∴C=． 再由正弦定理可得=，即 =，求得 c=． （Ⅱ）由tanB=，可得sinB=，利用正弦定理可得 =，即 =，解得 b=3． 又D为线段AC上一点，且AD=2DC，∴AD=2，CD=1，△BCD中，由余弦定理可得 BD=CB+CD﹣2CB?CD?cosC=2+1﹣2222×（﹣）=5，∴BD=． 点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，大边对大角，属于基础题． 18．（14分）（2014春?无锡期末）已知数列{an}的首项a1=a，前n项和为Sn，且﹣a2，Sn，2an+1成等差数列． （Ⅰ）试判断数列{an}是否成等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若a5=32，设bn=log2（a1a2…an），试求
+
+…+
的值．
考点： 数列的求和；等比关系的确定． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）由题意知2Sn=﹣a2+2an+1，当n≥2时，2Sn﹣1=﹣a2+2an，两式相减，得2an=2an+1第13页（共17页）
﹣2an，从而得到an+1=2an，当a1=a=0时，an=0，{an}不是等比数列．当a≠0时，{an}是首项为a，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由a3=32，解得a=2，所以++…+=．从而得到，由此利用裂项求和法能求出结果． ，解答： 解：（Ⅰ）∵数列{an}的首项a1=a，前n项和为Sn，且﹣a2，Sn，2an+1成等差数列， ∴2Sn=﹣a2+2an+1，当n≥2时，2Sn﹣1=﹣a2+2an， 两式相减，得2an=2an+1﹣2an， ∴当n≥2时，an+1=2an， 又当n=1时，2a1=﹣a2=2a2，即a2=2a1，适合上式． ∴当a1=a=0时，an=0，{an}不是等比数列． 当a≠0时，，{an}是首项为a，公比为2的等比数列． ． ． ， =+…+） ） （Ⅱ）∵a3=32，∴a≠0，此时∴32=a×2，解得a=2，∴bn=log2（a1a2…an）==1+2+3+…+n=∴++…+4=2（1﹣+=2（1﹣=． 点评： 本题考查等比数列的判断，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用． 19．（14分）（2014春?无锡期末）已知函数f（x）=x++b，不等式xf（x）＜0的解集为（1，3）． （Ⅰ）求实数a、b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（2）﹣k?2﹣k=0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围． 考点： 一元二次不等式的解法；函数的零点与方程根的关系． x﹣x
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专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 2分析： （I）由于不等式xf（x）＜0的解集为（1，3），即x+bx+a＜0的解集为（1，3），利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出； （II）由（I）方程f（2）﹣k?2﹣k=0可化为2﹣（k+4）?2+3﹣k=0，令2=t，22则t＞0．即t﹣（k+4）t+3﹣k=0有两个不相等的实数根，因此△=（k+4）﹣4（3﹣k）＞0，且k+4＞0，3﹣k＞0，解得即可． 2解答： 解：（I）∵不等式xf（x）＜0的解集为（1，3），即x+bx+a＜0的解集为（1，3）， ∴， x﹣x2xxx解得a=3，b=﹣4． （II）由（I）可得：x﹣x﹣4， 2xx方程f（2）﹣k?2﹣k=0可化为2﹣（k+4）?2+3﹣k=0， x令2=t，则t＞0． 2∴t﹣（k+4）t+3﹣k=0有两个不相等的实数根， 2∴△=（k+4）﹣4（3﹣k）＞0，且k+4＞0，3﹣k＞0， 解得． ∴实数k的取值范围是． 点评： 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的实数根与判别式的关系及根与系数的关系、指数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法，属于难题． 20．（14分）（2014春?无锡期末）设数列{a2n﹣1}是公差为2的等差数列，数列{a2n}是公比
*
为3的等比数列，数列{an}的前n项和为Sn（n∈N），已知S3=a4，a3+a5=a4+2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
*
（Ⅱ）若当n∈N时，不等式2S2n﹣na2n﹣1＜λa2n恒成立，求实数λ的取值范围． 考点： 数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用． 分析： （Ⅰ）把已知条件化为a1和a2的等式，联立后求解a1和a2，然后分别有等差数列和等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式； （Ⅱ）利用分组求和求出S2n，结合2S2n﹣na2n﹣1＜λa2n恒成立分离参数λ，然后构造辅助函数，由单调性得到bn的最大值，则实数λ的取值范围可求． 解答： 解：（Ⅰ）由S3=a4，得a1+a2+a1+2=3a2，即a1+1=a2 ① 由a3+a5=a4+2，得a1+2+a1+4=3a2+2，即2a1+4=3a2 ② 解①②得，a1=1，a2=2． ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 第15页（共17页）
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