解三角形（一）答案
一、选择题：DDCCB CCDDD
?1?132二、填空题：3 ; 30° ; ; 2437三、解答题：
16．解：因为sinA?cosA<0，且sinA? (0,]
3 ;
?342，故cosA??1?sinA??；又55222a?35，b?5，故由a?b?c?2bccosA，得
42(35)2?52?c2?2?5?c?(?)，即c?8c?20?0，解得c?2或c??10(舍
5去).故c?2.
17. I）因为(a?b?c)(a?b?c)??ac.所以a?c?b??ac.
222a2?c2?b21??，因此B?120?. 由余弦定理得cosB?2ac2（II）由（I）知A?C?60，所以cos(A?C)?cosAcosC?sinAsinC
??cosAcosC?sinAsinC+2sinAsinC ?cos(A?C)?2sinAsinC???313?1?. ?2?224?故A?C?30或A?C??30，因此C?15或C?45
?uvvab?b?18.证明：（1）Qm//n,?asinA?bsinB,即a?，其中R是三角形ABC外接2R2R圆半径，a?b w.w.w. ??ABC为等腰三角形
解（2）由题意可知m//p?0,即a(b?2)?b(a?2)?0?a?b?ab 由余弦定理可知，
uvuvA 北 4?a2?b2?ab?(a?b)2?3ab D C 东
即(ab)2?3ab?4?0
E
1
B ?ab?4(舍去ab??1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?S?11?absinC??4?sin?3 223oo19．解：（1）如图，AB?1km，?BAC?60，?BAD?30，
在Rt?ABC中，BC?ABtan?BAC?3km； 在Rt?ABD中，BD?ABtan?BAD?由余弦定理， 得CD?3?3o(km)；在?BDC中，?DBC?120，339113139(km)，故船v???239(km/h). ?2?3??(?)?363323o（2）设轮船沿CD从D处经时间t后到达岛的正西方E处，在?BDC中，由正弦定理得
BCsin120953sin?BDC ?，故cos?BDC?， ?CD239239故sin?BED?sin(?BDC?30)?o1； 13oBDsin3039在?BDE中，由正弦定理，得DE?(km)， ?sin?BED61(h).即船于11时15分到达岛的正西方. 12答：若船的速度和航向不变，则它于11时15分到达岛的正西方.
故t?20.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2?(2b?c)b?(2c?b)c
即a?b?c?bc 由余弦定理得a?b?c?2bccosA
222222故cosA??1,A?120? 2222 （Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA?sinB?sinC?sinBsinC.
又sinB?sinC?1，得sinB?sinC?B?C
1因为0??B?90?,0??C?90?， 故2
所以?ABC是等腰的钝角三角形。
22221.【解析】（Ⅰ）因为a?b?2ab?c
2
3?a2?b2?c2?2ab2???.故C?由余弦定理有cosC?.
42ab2ab2（Ⅱ）由题意得
(sin?sinA?cos?cosA)(sin?sinB?cos?cosB)2?. 5cos2?2. 5因此(tan?sinA?cosA)(tan?sinB?cosB)?(tan?sinA?cosA)(tan?sinB?cosB)?2. 52 .①5tan2?sinAsinB?tan?sin(A?B)?cosAcosB?3??2A?B?,sin(A?B)?,所以 442因为C?解三角形（二）答案
一、选择题：DDDDD DACDC 二、填空题：120? ; 2 ;
233 ;
1 ; 2ab，即bsinA?asinB，?sinAsinB三、解答题：16. 【解析】(Ⅰ) 在△ABC中，由正弦定理得
又由bsinA?3csinB，可得，a?3c,又 a = 3，故c=1，由b2?a2?c2?2accosB,且
2cosB?,可得b?6.
352(Ⅱ)由cosB?，得sinB?，进而得到33451. cos2B?2cos2B?1??,sin2B?2sinBcosB?99????45?3?. 所以sin?2B???sin2Bcos?cos2Bsin?3?3318?is17．解：（1）由a?2bsinA根据正弦定理，得sinA?2sinBsinA，故n
3
B?1.因?ABC2为锐角三角形，故B?.
6（2）
?cosA?sinC?cosA?sin(???6?A)?cosA?sin(?1?A)?cosA?cosA?62???3sinA?3sin(A?).由?ABC为锐角三角形，知?B
3222?2?B??2??6??3，故
?3
2??5?
33,). 22.
19．【解析】如图，由（1）得
而小艇OC?103,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP?OC>AC，的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意
4
位置相遇，设?COD=?(0
103， cos?由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t?10?103tan?103和t?，
30vcos?所以
10?103tan?1031533，解得v?， ?,又v?30,故sin(?+30)?30vcos?sin(?+30)23，于是 3从而30??<90,由于??30时，tan?取得最小值，且最小值为当??30时，t?210?103tan?取得最小值，且最小值为。
330此时，在?OAB中，OA?OB?AB?20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
20.
21.（1）由题意可得：
5