G单元 立体几何
G1 空间几何体的结构 20．、、[20142安徽卷] 如图1-5，四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.
图1-5
(1)证明：Q为BB1的中点；
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
20．解： (1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD， BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A， 所以平面QBC∥平面A1AD，
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行， 即QC∥A1D.
故△QBC与△A1AD的对应边相互平行， 于是△QBC∽△A1AD，
所以
BQBQBC1
＝＝＝，即Q为BB1的中点． BB1AA1AD2
(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a.
图1
1132
13
V三棱锥Q -A1AD＝322a2h2d＝ahd，
1a＋2a?1?1
V四棱锥Q -ABCD＝22d2?h?＝ahd，
3
2
?2?4
7
所以V下＝V三棱锥Q -A1AD＋V四棱锥Q -ABCD＝ahd.
123
又V四棱柱A1B1C1D1 -ABCD＝ahd，
2
3711V上11
所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1 -ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.
21212V下7(3)方法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E.
又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，
所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E.
所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角． 因为BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA. 又因为梯形ABCD的面积为6，DC＝2， 所以S△ADC＝4，AE＝4. 于是tan∠AEA1＝AA1π＝1，∠AEA1＝. AE4
π
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为. 4
→
方法二：如图2所示，以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．
设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝2a.
因为S四边形ABCD＝
a＋2a2
22sin θ＝6，
2
所以a＝. sin θ
图2
从而可得C(2cos θ，2sin θ，0)，A1?
?4，0，4?，
?
?sin θ?
4
，0，4??.
?sin θ?
→?所以DC＝(2cos θ，2sin θ，0)，DA1＝?设平面A1DC的法向量n＝(x，y，1)，
?由? ?→DC2n＝2xcos θ＋2ysin θ＝0，
DA12n＝→
4
x＋4＝0，sin θ
??x＝－sin θ，得? ?y＝cos θ，?
所以n＝(－sin θ，cos θ，1)．
又因为平面ABCD的法向量m＝(0，0，1)， 所以cos〈n，m〉＝
n2m2
＝，
|n||m|2
π
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为. 4
8．[20142湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体
12
积V的近似公式V≈Lh.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似
36
22
公式V≈Lh相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
752225157355A. B. C. D. 7850113
121
8．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr，由题意得Lh≈Sh，
363
22252
代入S＝πr化简得π≈3；类比推理，若V＝Lh，则π≈.故选B.
758
7．、[20142辽宁卷] 某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )
ππ
A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－
24
图1-1
7．B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分?占圆柱的1?后余下的部分，故该几何体体积为23232－2313π32＝8－π. ?4?4??
G2 空间几何体的三视图和直观图 7．[20142安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋3 B．8＋2 C．21 D．18
图1-2
7．A [解析] 如图，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后116
余下的部分，其表面积S＝634－36＋23323＝21＋3.
222
2．[20142福建卷] 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
2．A [解析] 由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形．
5．[20142湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O - xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
图1-1 A．①和② B．①和③ C．③和② D．④和②
5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.
7．、[20142湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
图1-2
A．1 B．2 C．3 D．4
7．B [解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，
6＋8－10
可得r＝＝2.
2
5．[20142江西卷] 一几何体的直观图如图1-1所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
图1-1
A B C D
图1-2
5．B [解析] 易知该几何体的俯视图为选项B中的图形． 7．、[20142辽宁卷] 某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )
ππ
A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－
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图1-1
7．B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分