?占圆柱的1?后余下的部分，故该几何体体积为23232－2313π32＝8－π. ??4?4?
3．[20142浙江卷] 几何体的三视图(单位：cm)如图1-1所示，则此几何体的表面积是( )
图1-1
2
A．90 cm B．129 cm C．132 cm D．138 cm
3．D [解析] 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图，
2
2
2
1
所以该几何体的表面积为2(433＋633＋634)＋233334＋433＋335－333＝
2
2
138(cm)，故选D.
12．[20142新课标全国卷Ⅰ] 如图1-3，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )
图1-3
A．6 2 B．6 C．4 2 D．4
12．B [解析] 该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E- CC1D1(其中E为BB1的中点)，其中最长的棱为D1E＝（4 2）＋2＝6.
2
2
6．[20142新课标全国卷Ⅱ] 如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
图1-1
A.
175101 B. C. D. 279273
22
6．C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π3332＋π3234
323
＝34π(cm)，原毛坯的体积为π3336＝54π(cm)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20
20π103
π(cm)，故所求的比值为＝. 54π27
17．[20142陕西卷] 四面体ABCD及其三视图如图1-4所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
(1)证明：四边形EFGH是矩形；
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
图1-4
17．解：(1)证明：由该四面体的三视图可知， BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC， BD＝DC＝2，AD＝1.
由题设，BC∥平面EFGH， 平面EFGH∩平面BDC＝FG， 平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG. ∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC， ∴AD⊥BC，∴EF⊥FG， ∴四边形EFGH是矩形．
(2)方法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
DA＝(0，0，1)，BC＝(－2，2，0)，
BA＝(－2，0，1)．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)， ∵EF∥AD，FG∥BC， ∴n2DA＝0，n2BC＝0，
得?
?z＝0，?
??－2x＋2y＝0，
取n＝(1，1，0)，
→?BA2n?＝2＝10. ∴sin θ＝|cos〈BA，n〉|＝??5?|BA||n|?532方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
1??∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得E?1，0，?，F(1，0，0)，G(0，2??1，0)．
1?→?
∴FE＝?0，0，?，FG＝(－1，1，0)，
2??
BA＝(－2，0，1)．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)， 则n2FE＝0，n2FG＝0，
1??z＝0，得?2取n＝(1，1，0)， ??－x＋y＝0，
?BA2n?210→
∴sin θ＝|cos〈BA，n〉|＝?→＝. ?＝
5532?|BA||n|?
10．[20142天津卷] 一个儿何体的三视图如图1-3所示(单位：m)，则该几何体的体积
3
为________m.
图1-3
20π210. [解析] 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π31
3
120π2
34＋π3232＝. 33
7．[20142重庆卷] 某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的表面积为( )
图1-2
A．54 B．60 C．66 D．72
7．B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角
13352＋5
边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为S＝3334＋＋34
222
2＋5＋35＋335＝60.
2
G3 平面的基本性质、空间两条直线 4．[20142辽宁卷] 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
4．B [解析] B [解析] 由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故C错误．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与a相交，故D错误．
17．、、[20142福建卷] 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
图1-5
17．解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.
又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.
由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.
→→→
以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．
?11?依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M?0，，?. ?22?
→→?11?→
则BC＝(1，1，0)，BM＝?0，，?，AD＝(0，1，－1)．
?22?设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，
x0＋y0＝0，→???n2BC＝0，?
则?即?1 1
→y0＋z0＝0，??n2BM＝0，?2?2
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．
设直线AD与平面MBC所成角为θ，
→|n2AD|6→则sin θ＝cos〈n，AD〉＝＝.
→3|n|2|AD|
||
6. 3
11．[20142新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
12302A. B. C. D. 105102
11．C [解析] 如图，E为BC的中点．由于M，N分别是A1B1，A1C1的中点，故MN∥B1C1
1
且MN＝B1C1，故MN綊BE，所以四边形MNEB为平行四边形，所以EN綊BM，所以直线AN，
2
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为
NE所成的角即为直线BM，AN所成的角．设BC＝1，则B1M＝B1A1＝
65＝NE，AN＝AE＝， 22
在△ANE中，根据余弦定理得cos ∠ANE＝655
＋－44465322
＝
1
22
，所以MB＝211＋＝2
23
30. 10