图1-4
18．解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，
所以AO⊥BD，OC⊥BD.
因为AO，OC?平面AOC，且AO∩OC＝O， 所以BD⊥平面AOC.
又因为AC?平面AOC，所以BD⊥AC. 取BO的中点H，连接NH，PH.
又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO， 因为AO⊥BD，所以NH⊥BD. 因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.
因为NH，NP?平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP. 又因为HP?平面NHP，所以BD⊥HP.
又OC⊥BD，HP?平面BCD，OC?平面BCD，所以HP∥OC. 因为H为BO的中点，所以P为BC的中点．
(2)方法一：如图所示，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.
由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.
因为MN⊥NP，所以∠MNQ为二面角A - NP - M的一个平面角． 由(1)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以AO＝OC＝3. 由俯视图可知，AO⊥平面BCD.
因为OC?平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝6. 作BR⊥AC于R
因为在△ABC中，AB＝BC，所以R为AC的中点， 所以BR＝
10?AC?AB－??＝. 2?2?
2
2
因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，
所以NQ∥BR.
又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，
BR10
所以NQ＝＝.
24
10
. 4
故△MNQ为等腰三角形， 同理，可得MQ＝
所以在等腰△MNQ中，
MNBD2410
cos∠MNQ＝＝＝.
NQNQ5
10
. 5
方法二：由俯视图及(1)可知，AO⊥平面BCD. 因为OC，OB?平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB. 又OC⊥OB，所以直线OA，OB，OC两两垂直．
如图所示，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz.
故二面角A - NP - M的余弦值是则A(0，0，3)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，D(－1，0，0)． 因为M，N分别为线段AD，AB的中点， 又由(1)知，P为线段BC的中点，
3??13??13??1
所以M?－，0，?，N?，0，?，P?，，0?，于是AB＝(1，0，－3)，BC＝(－
2??22??22?2?1，3，0)，MN＝(1，0，0)，NP＝?0，?
?33?，－?. 22?
设平面ABC的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，
??n1⊥AB，??n12AB＝0，
由?得?即 ?n1⊥BC，??n12BC＝0，?
?（x1，y1，z1）2（1，0，－3）＝0，
?
?（x1，y1，z1）2（－1，3，0）＝0，?x1－3z1＝0，从而?
?－x1＋3y1＝0.
取z1＝1，则x1＝3，y1＝1，所以n1＝(3，1，1)． 设平面MNP的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，由，
?n2⊥MN，??n22MN＝0，??得? ??n⊥NP，n2NP＝0，?2?2
（x2，y2，z2）2（1，0，0）＝0，??即? 33??（x，y，z）2＝0，222?0，，－??22???
x2＝0，??从而?3 3
y－z＝0.22?2?2
取z2＝1，则y2＝1，x2＝0，所以n2＝(0，1，1)．
?n12n2?＝
设二面角A - NP - M的大小为θ，则cos θ＝???|n1|2|n2|??（3，1，1）2（0，1，1）?10??＝5.
532??
故二面角A-NP-M的余弦值是
10
. 5
17．、[20142天津卷] 如图1-4所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F - AB - P的余弦值．
图1-4
17．解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．
(1)证明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)， 故BE2DC＝0， 所以BE⊥DC.
(2)向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)． 设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
??n2BD＝0，??－x＋2y＝0，则?即? ?n2PB＝0，??x－2z＝0.?
不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．于是有
n2BE23
cos〈n，BE〉＝＝＝，
|n|2|BE|6323
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为3
. 3
(3) 向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，
→
设CF＝λCP，0≤λ≤1.
→
故BF＝BC＋CF＝BC＋λCP＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF2AC＝0，因此3?113?2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，即BF＝?－，，?.设n1＝(x，y，z)为平面FAB4?222?
???n12AB＝0，?
的法向量，则?即?113不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面
?n12BF＝0，?－x＋y＋z＝0.?
?2
2
2
x＝0，
FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，则
cos〈，〉＝
n12n2－3310
＝＝－.
|n1|2|n2|101031
310
易知二面角F - AB - P是锐角，所以其余弦值为.
10
方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的1
中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四
2边形，所以BE∥AM.
因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM?平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.
(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．
依题意，有PD＝22，而M为PD中点，可得AM＝2，进而BE＝2.故在直角三角形
EMAB13
BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，
BEBE32
3. 3
(3)如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角F - AB - P的平面角．
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为1210
在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG422310310
＝，所以二面角F - AB - P的余弦值为.
1010
20．、[20142浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.
(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B - AD - E的大小．
图1-5
20．解：(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝2， 由AC＝2，AB＝2，
222
得AB＝AC＋BC，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE， 所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD. (2)方法一：
过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B - AD - E的平面角．
222
在直角梯形BCDE中，由CD＝BC＋BD， 得BD⊥BC.