18．，，，[20142四川卷] 三棱锥A - BCD及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
(1)证明：P是线段BC的中点；
(2)求二面角A - NP - M的余弦值．
图1-4
18．解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，
所以AO⊥BD，OC⊥BD.
因为AO，OC?平面AOC，且AO∩OC＝O， 所以BD⊥平面AOC.
又因为AC?平面AOC，所以BD⊥AC. 取BO的中点H，连接NH，PH.
又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO， 因为AO⊥BD，所以NH⊥BD. 因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.
因为NH，NP?平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP. 又因为HP?平面NHP，所以BD⊥HP.
又OC⊥BD，HP?平面BCD，OC?平面BCD，所以HP∥OC. 因为H为BO的中点，所以P为BC的中点．
(2)方法一：如图所示，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.
由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.
因为MN⊥NP，所以∠MNQ为二面角A - NP - M的一个平面角．
由(1)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以AO＝OC＝3. 由俯视图可知，AO⊥平面BCD.
因为OC?平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝6. 作BR⊥AC于R
因为在△ABC中，AB＝BC，所以R为AC的中点， 所以BR＝
10?AC?AB－??＝. 2?2?
2
2
因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，
所以NQ∥BR.
又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，
BR10
所以NQ＝＝.
24
10
. 4
故△MNQ为等腰三角形， 所以在等腰△MNQ中， 同理，可得MQ＝
MNBD2410
cos∠MNQ＝＝＝.
NQNQ5故二面角A - NP - M的余弦值是10
. 5
方法二：由俯视图及(1)可知，AO⊥平面BCD. 因为OC，OB?平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB. 又OC⊥OB，所以直线OA，OB，OC两两垂直．
如图所示，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz.
则A(0，0，3)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，D(－1，0，0)． 因为M，N分别为线段AD，AB的中点， 又由(1)知，P为线段BC的中点，
3??13??13??1
所以M?－，0，?，N?，0，?，P?，，0?，于是AB＝(1，0，－3)，BC＝(－
2??22??22?2?1，3，0)，MN＝(1，0，0)，NP＝?0，33?
，－?. 22?
设平面ABC的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，
??n1⊥AB，??n12AB＝0，?由得?即 ?n1⊥BC，??n12BC＝0，?
?
?
?（x1，y1，z1）2（1，0，－3）＝0，
?
?（x1，y1，z1）2（－1，3，0）＝0，?x1－3z1＝0，从而?
?－x1＋3y1＝0.
取z1＝1，则x1＝3，y1＝1，所以n1＝(3，1，1)． 设平面MNP的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，由，
??n2⊥MN，??n22MN＝0，?得? ?n2⊥NP，??n22NP＝0，?
（x2，y2，z2）2（1，0，0）＝0，??即? 33??
（x2，y2，z2）2?0，，－?＝0，?22???
x2＝0，??从而?3 3
y－z＝0.22?2?2
取z2＝1，则y2＝1，x2＝0，所以n2＝(0，1，1)．
?n12n2?＝
设二面角A - NP - M的大小为θ，则cos θ＝???|n1|2|n2|??（3，1，1）2（0，1，1）?10??＝5.
532??
故二面角A-NP-M的余弦值是
10
. 5
G4 空间中的平行关系 20．、、[20142安徽卷] 如图1-5，四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.
图1-5
(1)证明：Q为BB1的中点；
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
20．解： (1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD， BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A， 所以平面QBC∥平面A1AD，
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行， 即QC∥A1D.
故△QBC与△A1AD的对应边相互平行， 于是△QBC∽△A1AD， 所以
BQBQBC1
＝＝＝，即Q为BB1的中点． BB1AA1AD2
(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a.
图1
1132
13
V三棱锥Q -A1AD＝322a2h2d＝ahd，
1a＋2a?1?1
V四棱锥Q -ABCD＝22d2?h?＝ahd，
3
2
?2?4
7
所以V下＝V三棱锥Q -A1AD＋V四棱锥Q -ABCD＝ahd.
123
又V四棱柱A1B1C1D1 -ABCD＝ahd，
2
3711V上11
所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1 -ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.
21212V下7(3)方法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E.
又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，
所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E.
所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角． 因为BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA. 又因为梯形ABCD的面积为6，DC＝2， 所以S△ADC＝4，AE＝4. 于是tan∠AEA1＝AA1π＝1，∠AEA1＝. AE4
π
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为. 4
→
方法二：如图2所示，以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．
设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝2a. 因为S四边形ABCD＝
a＋2a2
22sin θ＝6，
2
所以a＝. sin θ
图2
从而可得C(2cos θ，2sin θ，0)，A1?
?4，0，4?，
?
?sin θ?
4
，0，4??.
?sin θ?
→?所以DC＝(2cos θ，2sin θ，0)，DA1＝?设平面A1DC的法向量n＝(x，y，1)，
?由? ?→DC2n＝2xcos θ＋2ysin θ＝0，
DA12n＝得?
?x＝－sin θ，?
??y＝cos θ，
→
4
x＋4＝0，sin θ
所以n＝(－sin θ，cos θ，1)．
又因为平面ABCD的法向量m＝(0，0，1)， 所以cos〈n，m〉＝
n2m2
＝，
|n||m|2
π
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为. 4
17．、[20142北京卷] 如图1-3，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P - ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.
(1)求证：AB∥FG；
(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．