导数:
1.已知函数f?x??xlnx. （1）求函数f?x?的极值点；
（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线y?f?x?相切，求直线l的方程；
（3）设函数g?x??f?x??a?x?1?，其中a?R，求函数g?x?在?1,e?上的最小值.（其中e为自然对数的底数）
【答案】 解：（1）f??x??lnx?1,x＞0.……………………1分
1,f??1
而f??x?x?x,＞0?lnx+1＞0?x＞e＜0?lnx?1＜0?0＜＜e
?f?x??0,1????1,????
所以在?e?上单调递减，在?e?上单调递增.………………3分 x?1 所以e是函数f?x?的极小值点，极大值点不存在.…………………4分
（2）设切点坐标为
?x0,y0?，则y0?x0lnx0,切线的斜率为lnx0?1,
所以切线l的方程为
y?x0lnx0??lnx0?1??x?x0?.……………………5分
又切线l过点?0,?1?，所以有?1?x0lnx0??lnx0?1??0?x0?.
解得
x0?1,y0?0.
所以直线l的方程为y?x?1.………………………………………………7分 （3）g?x??xlnx?a?x?1?，则g??x??lnx?1?a.
g??x?＜0?lnx?1?a＜0?0＜x＜ea?1,g??x?＞0?x＞
ea?1, 所以g?x?在?0,ea?1?上单调递减，在?ea?1,???上单调递增.………………8分 ①当
ea?1?1,即a?1时，g?x?在?1,e?上单调递增， 所以g?x?在?1,e?上的最小值为g?1??0.………………………………………9分
②当1＜ea?1＜e，即1＜a＜2时，g?x?在?1,ea?1??1上单调递减，在?ea,e?上单调递增.
g?x?a?1在?1,e?上的最小值为g?e??a?ea?1.……………………………………10分
1
a?1e?e,即a?2时，g?x?在?1,e?上单调递减， ③当
所以g?x?在?1,e?上的最小值为g?e??e?a?ae.………………………………11分 综上，当a?1时，g?x?的最小值为0；当1＜a＜2时，g?x?的最小值为a?ea?1；
.…………………………………………12分 当a?2时，g?x?的最小值为a?e?aef(x)?2.已知函数
12ax?2x2， g(x)?lnx.
（Ⅰ）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使得函数
??x??g(x)1?f?(x)?(2a?1)(,e)x在区间e内有两个
不同的零点？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）当a?0时，f(x)?2x在[1,??)上是单调增函数，符合题意．……1分
当a?0时，y?f(x)的对称轴方程为
x??2a， ?2?1y?f(x)[1,??)a由于在上是单调函数，所以，解得a??2或a?0，
综上，a的取值范围是a?0，或a??2． …………………………4分
（Ⅱ）
??x??lnx?(ax?2)?(2a?1)x，
1,e??x??0??x?因在区间(e)内有两个不同的零点,所以，
1,e2ax?(1?2a)x?lnx?0e即方程在区间()内有两个不同的实根. …………5分
2H(x)?ax?(1?2a)x?lnx (x?0)， 设
12ax2?(1?2a)x?1(2ax?1)(x?1)H?(x)?2ax?(1?2a)???xxx ………7分
? 令H(x)?0，因为a为正数，解得x?1或
x??12a（舍）
2
1x?(,1)e时, H?(x)?0, H(x)是减函数； 当
?当x?(1,e)时, H(x)?0，H(x)是增函数. …………………………8分 1,eH(x)为满足题意，只需在(e)内有两个不相等的零点, 故
?1?H(e)?0,??H(x)min?H?1??0,?H(e)?0,??
e2?e1?a?2e?1 ……………………………12分 解得
f(x)?lnx?ax?1?a?1x．
3.设函数
（Ⅰ）当a?1时，求曲线f(x)在x?1处的切线方程；
（Ⅱ）当
a?13时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数
g(x)?x2?2bx?512，若对于?x1?[1，2]，?x2?[0，
1]，使f(x1)≥g(x2)成立，求实数b的取值范围.
??)，【解析】函数f(x)的定义域为(0，f?(x)?11?a?a?2xx （2分）
（Ⅰ）当a?1时，f(x)?lnx?x?1，∴f(1)??2， ∴f(x)在x?1处的切线方程为y??2
f?(x)?1?1?x，∴f(1)?0
（5分）
f?(x)??（Ⅱ）
x2?3x?23x2??(x?1)(x?2)3x2
（6分）
??∴当0?x?1，或x?2时，f(x)?0，当1?x?2时，f(x)?0
3
故当
a?12)； 3时，函数f(x)的单调递增区间为(1，单调递减区间为(0,1)，(2,??). （8分）
（Ⅲ）当
a?
1
（1，2)上为增函数，∴函数f(x)在[1，2]上 3时，由（Ⅱ）可知函数f(x)在
2?的最小值为f(1)?3
（9分）
若对于?x1?[1，2]，?x2?[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值不大于
f(x)在(0,e]上的最小值
?23（*） （10分）
又
g(x)?x2?2bx?55?(x?b)2?b2?1212，x?[0,1]
[g(x)]min?g(0)??52??123与（*）矛盾
①当b?0时，g(x)在[0,1]上为增函数，
②当0?b?1时，
[g(x)]min?g(b)??b2?552?b2???12，由123及0?b?1得，
1?b?12
③当b?1时，g(x)在[0,1]上为减函数，此时b?1
[g(x)]min?g(1)?7172?2b????12123，
（11分）
1[，??）b2综上，的取值范围是
4
4.设a?R,函数f(x)?lnx?ax. （1）讨论函数f(x)的单调区间和极值; （2）已知
x1?e(e?2.71828L)和x2是函数f(x)的两个不同的零点,
求a的值并证明:
x2?e.
f?(x)?11?ax?a?xx. ……………………2分
32【解析】在区间
?0,???上,
?0,???上的增函数,无极值； …………………4分 ?①若a?0,则f(x)?0,f(x)是区间
?②若a?0,令f(x)?0得:
x?1a.
1(0,)a上, f?(x)?0,函数f(x)是增函数; 在区间
1(,??)?在区间a上, f(x)?0,函数f(x)是减函数;
11f()?ln?1??lna?10,????f(x)aa在区间上, 的极大值为.
?0,???,无极值； …………………7分
综上所述，①当a?0时,f(x)的递增区间
11(0,)(,??)a，递减区间是a③当a?0时，f(x)的是递增区间，
1f()??lna?1函数f(x)的极大值为a. ……………………9分
11a??ae?02e. ……………………10分 (2) f(e)?0,∴2，解得:f(x)?lnx?∴
3212e. ……………………11分
x53e5e3352Qf(e)???0f(e)???0222222又,,?f(e)?f(e)?0 …………………13分
5