由(1)函数f(x)在(2e,??)递减,故函数f(x)在区间(e,e)有唯一零点, 因此
3252x2?e. ……………………14分
325.设函数f?x??lnx?p?x?1?,p?R. （Ⅰ）当p?1时，求函数f?x?的单调区间；
1p?时，有g?x??0成立2（Ⅱ）设函数g?x??xf?x??p2x?x?1,?x?1?,求证：当.
?2??0,???.
【解析】（I）当p =1时，f(x)=lnx-x+1，其定义域为
f?(x)?所以
1?1x. …………2分
f?(x)?由
1?1?0x得0?x?1，
?0,1?；单调减区间为?1,???.………5分
所以f(x)的单调增区间为
22g(x)?xf(x)?p(2x?x?1)?xlnx?p(x?1), （II）由函数
?得g(x)?lnx?1?2px, …………7分
由（I）知，当p =1时，f(x)?f(1)?0，
即不等式lnx?x?1成立. …………９分
p??所以当
12时，g?(x)?lnx?1?2px?(x?1)?1?2px?(1?2p)x?0，
即g(x)在?1,???上单调递减，
从而g(x)?g(1)?0满足题意. …………12分
6
x2f(x)?e(x?ax?a)，其中a是常数. 6.已知函数
（Ⅰ）当a?1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[0,??)上的最小值.
x2f(x)?e(x?ax?a)可得 【解析】（Ⅰ）由x2f'(x)?ex[?a(?
2x) ] ………………………………………2分 .
当a?1时,f(1)?e ,f'(1)?4e. ………………………………………4分
y?e?4e?x?1?所以 曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为，
即y?4ex?3e. ………………………………………6分
x2f'(x)?e[x?(a?2)x]?0， （Ⅱ）令
解得x??(a?2)或x?0. ………………………………………8分 当?(a?2)?0，即a??2时，在区间[0,??)上，f'(x)?0，所以f(x)是[0,??)上的增函数.
所以f(x)的最小值为f(0)＝?a; ………………………………………10分 当?(a?2)?0，即a??2时,
f'(x),f?x?随x的变化情况如下表
x f'(x) f(x) 0 0 (0,?(a?2)) ?(a?2) 0 (?(a?2),??) + ↗ - ↘ f(0) f(?(a?2)) f(?(a?2))?a?4ea?2.
由上表可知函数f(x)的最小值为
7
exf(x)?1?ax2，其中a为正实数. 7.设
a?（1）当
43时，求f(x)的极值点；
?13?,??f(x)2（2）若为?2?上的单调函数，求a的取值范围.
ax?f?(x)?【解】∵
2?2ax?1?ex22?1?ax?， ……………………2分
a?（1）当
1344x2?8x?3?0?x1?,x2?22， 3时，若f?(x)?0，则
x f??x?f?x?x1?
1????,??2? ?
12
0 极大值
?13??,??22?
32
0 极小值
?3??,????2?
?
递增
?
递减
?
递增
∴
13x2?2是极大值点， 2是极小值点； ……………………6分
（2）记
g?x??ax2?2ax?1，则
g?x??a?x?1???1?a?2，
?13??13?,,?????fx??f(x)222?上的单调函数，则∵为?在?2?上不变号，
ex∵
?1?ax?22?0?13?x??,?g?x??0g?x??0?22?恒成立，………10分 ，∴或对
?1?4g???0a?g?1??0?0?a?1或3， 由或?2?a?43. …………………13分
∴a的取值范围是0?a?1或
8
8.设函数
f(x)=x2+bln(x+1)． （Ⅰ）若函数y?f(x)在定义域上是单调函数，求b的取值范围；
n（Ⅱ）若b??1，证明对于任意的n?N?，不等式?f(1)?1?1k?1k23?133???1n3． f?(x)?2x?b?2x2?2x?b(x??1)【答案】（I）解：x?1x?1
要使f(x)在(?1,??)上为单调函数只须在(?1,??)上f?(x)?0或f?(x)?0恒成立， 1若2x2?2x?b?0b??2(x?21，
2)?2 t??2(x?111在(?1,??)上
2)2?2有最大值2 b?1∴只须
2则f?(x)?0
121若2x2?2x?b?0b??2(x?)?，
22 t??2(x?11在(?1,??)上
2)2?2无最小值故满足f?(x)?0的b不存在. b?1由上得出当
2时，f(x)在(?1,??)上为单调函数.
（II）b??1时，f(x)?x2?ln(x?1) 设g(x)?f(x)?x3?x2?ln(x?1)?x3
g?(x)?2x?13x3?(x?1)22x?1?3x??x?1
当x?0时g?(x)?0 ∴函数g(x)在(0,??)上为减函数
g(0)?0 ∴当x?(0,??)时，g(x)?g(0)?0
x2?ln(x?1)?x3恒成立 f(x)?x3
9
1k?N??(0,??) ∴k x?
1kf(1)?1∴
时，kk3
∴?nf(1111k?1k)?1?23?33???k3
9.设k?R，函数
f(x)?ex?(1?x?kx2)(x?0). （Ⅰ）若k?1，试求函数f(x)的导函数f?(x)的极小值；
【解】：（Ⅰ）当k?1时，函数
f(x)?ex?(1?x?x2)， 则f(x)的导数f?(x)?ex?(1?2x)，f?(x)的导数
f??(x)?ex?2. ……………2分 显然f??(ln2)?0，当0?x?ln2时，f??(x)?0；当x?ln2时，f??(x)?0， 从而f?(x)在(0，ln2)内递减，在(ln2，??)内递增. ………………………………4分 故导数f?(x)的极小值为f?(ln2)?1?2ln2 ……………………………6分
10.已知函数
f(x)?x2?alnx. （I）当a??2e时,求函数f(x)的单调区间和极值；
g(x)?f(x)?2 （II）若函数
x在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围.
解：（I）函数f(x)的定义域为(0,??). a??2e时,f?(x)?2x?2e2(x?e当
x?)(x?e)x. …………2分
当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下：
x (0,e) e (e,??) f?(x) — 0 + f(x) 极小值 10