(0,e)； 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是 单调递增区间是(e,??). 极小值是f(e)?0.
…………6分
g(x)?x2?alnx? （II）由
2a2,得g?(x)?2x??2.xxx 2x为[1，4]上单调减函数，
2x?…………7分
g(x)?x2?alnx? 又函数
? 则g(x)?0在[1，4]上恒成立，所以不等式
2a??02xx在[1，4]上恒成立.
a? 即
2?2x2x在[1，4]上恒成立.
…………10分
?(x)? 又
2?2x2x在[1，4]为减函数，
63.2
?(x)的最小值为?(4)?? 所以
a?? 所以
63.2
…………12分
f(x)?11.已知函数
12ax?(2a?1)x?2lnx(a?R)2.
(Ⅰ)若曲线y?f(x)在x?1和x?3处的切线互相平行，求a的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间；
2g(x)?x?2x，若对任意x1?(0,2]，均存在x2?(0,2]，使得f(x1)?g(x2)，求a(Ⅲ)设
的取值范围.
f?(x)?ax?(2a?1)?解：
2x(x?0). ………………2分 a?23. ………………3分
??（Ⅰ）f(1)?f(3)，解得
11
f?(x)?（Ⅱ）
(ax?1)(x?2)(x?0). ………………5分 x①当a?0时，x?0，ax?1?0，
在区间(0,2)上，f?(x)?0；在区间(2,??)上f?(x)?0，
故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,??). ………………6分
0?a?11②当
2?2时，a，
(1,??)在区间(0,2)和a上，f?(x)?0(2,1；在区间
a)
上f?(x)?0， (1,??)(2,1故f(x)的单调递增区间是(0,2)和a，单调递减区间是a). …………7分?1f?((x?2)2a③当
2x)?时，2x， 故f(x)的单调递增区间是(0,??). ………8分 a?120?1?2④当
时，a，
(0,11在区间a)(2,??)(,2)和上，f?(x)?0；在区间a上f?(x)?0，
(0,1故f(x)的单调递增区间是a)(1a,2)和(2,??)，单调递减区间是. ………9分
（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有f(x)max?g(x)max. ………………10分
由已知，
g(x)max?0，由（Ⅱ）可知，
a?1①当2时，f(x)在(0,2]上单调递增，
故
f(x)max?f(2)?2a?2(2a?1)?2ln2??2a?2?2ln2，
ln2?1?a?1所以，?2a?2?2ln2?0，解得a?ln2?1，故
2. ……………11分
a?12f(x)(0,1][1,2]②当
时，在a上单调递增，在a上单调递减，
12
11f(x)max?f()??2??2lnaa2a故. a?由
111lna?ln?ln??12可知2e，2lna??2，?2lna?2，
所以，?2?2lna?0，
f(x)max?0， ………………13分
综上所述，a?ln2?1.
1f(x)?lnx?ax2?bx.212．设函数
a?b?（1）当
12时，求f(x)的最大值；
1aF(x)?f(x)?ax2?bx?P(x0,y0)处切线2x，（2）令（0?x?3），其图象上任意一点1的斜率k≤2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a?0，b??1，方程2mf(x)?x有唯一实数解，求正数m的值． 【解析】（1）依题意，知f(x)的定义域为（0，+∞），
2a?b?
当
111f(x)?lnx?x2?x2时，42，
f'(x)?
111?(x?2)(x?1)?x??x222x（2′）令f'(x)=0，
解得x?1．（∵x?0）
因为g(x)?0有唯一解，所以g(x2)?0，当0?x?1时，
f'(x)?0，此时f(x)单调递增；
当x?1时，f'(x)?0，此时f(x)单调递减。
所以f(x)的极大值为
f(1)??34，此即为最大值………4分
13
F(x)?lnx?a（2）
x，x?(0,3]，
k?F'(xx0?a0)?1x2则有
0≤2，在x0?(0,3]上恒成立， (?1x2所以a≥20?x0)max，x0?(0,3]（8′）
?1当x0?1x2x1时，20?0取得最大值2，
1所以a≥2………8分
（3）因为方程2mf(x)?x2有唯一实数解，
所以x2?2mlnx?2mx?0有唯一实数解，
设
g(x)?x2?2mlnx?2mx， g'(x)?2x2?2mx?2m则x．令g'(x)?0，x2?mx?m?0．
m?m2?4因为m?0x?m，x?0，所以12?0（舍去）， xm?m2?4m2?2，
当x?(0,x2)时，g'(x)?0，g(x)在（0，x2）上单调递减， 当x?(x2,??)时，g'(x)?0，g(x)在（x2，+∞）单调递增 当x?x2时，g'(x2)=0，g(x)取最小值g(x2)．（12′）
??g(x?x22)?0,?2?2mlnx2?2mx则?g'(x2)?0,?2?0,2既??x2?mx2?m?0.
所以2mlnx2?mx2?m?0，因为m?0，所以2lnx2?x2?1?0（*）设函数h(x)?2lnx?x?1，因为当x?0时，
h(x)是增函数，所以h(x)?0至多有一解．
14
m?m2?4m?1x?1h(1)?022因为，所以方程（*）的解为，即，
m?12．…12分
解得
13．已知函数f(x)?ax?lnx(a?R).
(Ⅰ)若a?2，求曲线y?f(x)在x?1处切线的斜率； (Ⅱ)求f(x)的单调区间；
2gx()x??2x?2（Ⅲ）设
，若对任意
x??0,1?x1?(0,??)，f(x1)?g(x2)，
均存在2，使得
求a的取值范围. 解：(Ⅰ)由已知
f?(x)?2?1(x?0)x， ………………2分
f?(1)?2?1?3.
故曲线y?f(x)在x?1处切线的斜率为3. ………………4分 (Ⅱ)
f'(x)?a?1ax?1?(x?0)xx. ………………5分
①当a?0时，由于x?0，故ax?1?0，f'(x)?0
所以，f(x)的单调递增区间为(0,??). ………………6分 ②当a?0时，由f'(x)?0，得11(0,?)(?,??)??f(x)?0aa在区间上，，在区间上f(x)?0，
x??1a.
11(0,?)(?,??)a，单调递减区间为a所以，函数f(x)的单调递增区间为.
………………8分 （Ⅲ）由已知，转化为
f(x)max?g(x)max. ………………9分
g(x)max?2 ………………10分
由(Ⅱ)知，当a?0时，f(x)在(0,??)上单调递增，值域为R，故不符合题意.
33f(e)?ae?3?2，故不符合题意.) ………………11分 (或者举出反例：存在
11(0,?)(?,??)a上单调递增，在a当a?0时，f(x)在上单调递减，
15