第十八章 勾股定理
本章小结
小结1 本章概述
本章主要学习勾股定理、勾股定理的逆定理及它们的应用.通过从特殊到一般的探索过程过程验证了直角三角形三边之间的数量关系——勾股定理，又由生活实例及三角形全等方法验证由三边关系得到直角三角形——勾股定理的逆定理.学习时应注意区分并把它们运用到实际问题中，同时了解定理、互逆命题、互逆定理的相关内容． 小结2 本章学习重难点
【本章重点】会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题；掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程，并会应用其解决一些实际问题.
【本章难点】掌握勾股定理探索过程，并掌握其适用范围；理解勾股定理及其逆定量． 【学习本章注意的问题】
在学习本章内容的过程中，主要注意勾股定理及其逆定理的应用.在解决实际问题的过程中常用下列方法：（1）直接法；（2）转化法；（3）构造图形法（即构造直角三角形以达到解题的目的）；（4）图形结合法；（5）数形结合法；（6）方程的思想方法. 小结3 中考透视
本节知识在中考中以考查已知直角三角形的两边求第三边，运用勾股定理解决实际问题为主.其中定理在实际生活中的应用是热点，一般以选择题、填空题或解答题的形式出现，有时也与其他知识一起综合命题．
知识网络结构图
勾股定理
拼图法验证 应用
直角三角形
勾股定理的逆定理
判断直角三角形 勾股数 应用
专题总结及应用 一、知识性专题
专题1 勾股定理及其逆定理的应用
【专题解读】要证明以三条线段（或线段所在的直线）为边的三角形是直角三角形，应设法求出三边的长或关系式，利用勾股定理的逆定理证明.
例1 如图18-69所示，在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M，N，使∠MCN=45°，设AM=a,MN=x,BN=b,判断以x,a,b为边长的三角形的形状. 分析 要判断三角形的形状，就应设法将x,a,b放到一个三角形中，由于∠MCN=45°，因此可过点C作CD⊥MC，截取CD=CM，这样就可以得到
全等的三角形，并把x,a,b放到一个三角形中，进而利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
解：作CD⊥CM，且CD=CM，连接ND，BD，
∵AC⊥BC，CD⊥CM，∴∠ACB=∠MCD=90°.∴∠ACM=∠BCD. 又∵AC=BC，CM=CD，∴△CAM≌△CBD. ∴∠CBD=∠A=45°,AM=BD=a.
∴CM=CD,∠MCN=∠DCN=45°,CN=CN, ∴△MCN≌△DCN. ∴ND=MN=x.
∴∠CBA=∠CBD=45°, ∴∠NBD=∠CBA+∠CBD=90°. ∴NB2+BD2=ND2,即b2+a2=x2,
∴△NBD为直角三角形,即以x,a,b为边长的三角形是直角三角形.
【解题策略】巧用已知条件构造全等三角形,将线段x,a,b放到一个三角形中,为应用勾股定理的逆定理创造了条件.
例2 李老师让同学们讨论这样一个问题:如图18-70所示,有一个长方体盒子,底面正方形的边长为2 cm,高为3 cm.在长方体盒子下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面的F点处的食物,则怎样爬行路程最短?最短路程是多少? 过了一会儿,李老师问同学们答案,甲生说:先由A点到B点,再走对角线BF.乙生说:我认为应由A先走对角线AC,再由C点到F点.丙生说:将长方形ABCD
与长方形BEFC展开成方长形ABFG,利用勾股定理求AF的长.哪位同学的说法正确?还有其他方法吗?若有,请叙述出来,并说明理由.(参考数据:29≈5.392)
分析 要使蚂蚁爬行的路程最短,可直接连接AF,再求出AF,但AF在盒子里面,不符合题目要求,甲生和乙生的方法类似,只是顺序不同;丙生和丁生的方法类似,只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了. 解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图18-71所示，
则AE=AB+BE=4 cm,EF=3 cm,连接AF， 在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=42+32=25， ∵AF=5 cm.连接BF,
∵AF＜AB+BF,∴丙的方法比甲的好.
按丁生的办法:将长方形ABCD与正方法CFGD展开成长方形ABFG,如图18-72所示,
则BF=BC+CF=3+2=5(cm),AB=2 cm,连接AF. 在Rt△ABF中,AF2=BF2+AB2=52+22=29≈5.392, ∴AF≈5.39(cm).连接AC,
∵AF＜AC+CF,∴丁的方法比乙的好.
比较丙生与丁生的计算结果,丙生的说法正确.
二、规律方法专题
专题2 利用勾股定理解决折叠问题 【专题解读】折叠问题与轴对称和图形全等是密不可分的.做题时一定要抓住这一点,以免有无从下手之感.
例3 如图18-73所示,将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AC于E,AD=8,AB=4,求△BED的面积. 分析 由于S?ABC?1DE?AB,所以只要求出DE的长即可,而DE=BE,AE=AD-DE=8-BE,2在Rt△ABE中,利用勾股定理列方程求解.
解:∵AD∥BC,∴∠2=∠3.
∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称, ∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EB=ED. 设EB=x,则ED=x,AE=AD-ED=8-x. 在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2. ∴42+(8-x) 2=x2,∴x=5,∴DE=5. ∴S?ABC?11DE?AB??5?4?10. 22专题3 利用面积关系解决问题
【专题解读】利用勾股定理求出直角三角形的边长,进而求出面积,再利用面积的关系列出方程,从而解决问题.
例4 如图18-74所示,在三角形ABC中, ∠C=90°,两直角边AC=6,BC=8,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定
分析 要想直接计算,需找出表示这个相等距离的线段,由角平分线的性质可知,点P应是△ABC各角平分线的交点,再由面积关系列方程求解. 设P点到三边的距离为x,连接PA,PB,PC. 在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,
所以AB2=AC2+BC2=62+82=36+64=100. 所以AB=10. 又因为S?ABC?S?PAB?S?PAC?S?PBC, 所以
1111?6?8??10?x??6?x??8?x. 2222即48=10x+6x+8x.所以x=2,故选B. 【解题策略】这是一道方程与几何图形相结合的数学题,在几何图形问题中经常涉及解方程、求面积等相关计算.本题考查了勾股定理的实际应用.
三、思想方法专题
专题4 建模思想
【专题解读】能运用勾股定理解决简单的实际问题，将其转化为数学问题，建立直角三角形的模型，体现了学数学、用数学的思想，通过建模解决问题.
例5 一船在灯塔C的正东方向8海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏西30°方向行驶.
(1) 多长时间后,船距灯塔最近?
(2) 多长时间后,船到灯塔的正北方向?此时船距灯塔有多远?(其中:162-82≈13.92)
分析 最近距离就是点C到船航线AB的垂线段的长度,所以构造出直角三角形,再运用勾股定理及逆定理即可.
解: (1)如图18-75所示,
由题意可知,当船航行到D点时,距灯塔最近, 此时,CD⊥AB.
因为∠BAC=90°-30°=60°,所以∠ACD=30°. 所以AD=
11AC??8=4(海里). 22又因为4÷20=0.2(小时)=12(分),
所以12分后,船距灯塔最近.
(2)当船到达灯塔的正北方向的B点时, BC⊥AC. 此时∠B=30°,
所以AB=2AC=2×8=16(海里). 所以16÷20=0.8(小时)=48(分). 所以BC2=AB2-AC2=162-82≈13. 92. 所以BC≈13.9(海里).
所以48分钟后,船到达灯塔的正北方向,此时船距灯塔约13.9海里.
【解题策略】在运用勾股定理及其逆定理时,一定要区别它们各自的适用条件,不要混淆. 例6 如图18-76所示,如果电梯的长、宽、高分别是1.2 m,1.2 m,2.1 m,那么能放到电梯内的竹竿的最大长度是多少？
分析 所放竹竿的最大长度应是图中线段AB的长度，利用勾股定理即可求解.
解：连接AB，BC，在Rt△ABC中， BC2=1.22+1.22=2.88,AC2=2.12=4.41, ∴AB2=BC2+AC2=2.88+4.41=7.29. ∴AB=2.7 m.
∴能放入电梯内的竹竿的最大长度是2.7 m.
例7 有一圆柱形油罐，如图18-77(1)所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点正上方B点，则梯子最短需多少米？（已知油罐口的周长是12 m，高AB是5 m） 分析 把圆住体沿AB剪开，平铺在平面上，就会得到矩形ABB′A′，对角线AB′就是梯子的长度，如图18-77（2）所示.
解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平，则ABB′A′为长方形 AB=A′B′=5 m,AA′=BB′=12 m,∠BAA′=∠A′=∠A′B′B=90°,
因此沿AB′建梯子,材料最省,梯子最短. 在Rt△AA′B′中,AB′=答:梯子最短需13 m.
2011中考真题精选 1. （2011内蒙古呼和浩特，9，3）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（ ）
AA?2?A?B?2?122?52=13(m).
A. 14 B. 15 C. 32 D. 23
考点：勾股定理． 专题：计算题．
分析：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股
定理即可求出BD的长．
解答：解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF． 可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF，
∴DF=CB=1，BF=2+2=4， ∴BD=BF2?DF2?15．故选B． 点评：本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角
三角形，从而求解．
2. （2011四川达州，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
考点：垂径定理；勾股定理。 专题：计算题。
分析：连接OC，由垂径定理求出CE的长，再根据勾股定理得出线段OE的长． 解答：解：连接OC
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=错误！未找到引用源。CD， ∵CD=8，∴CE=4， ∵AB=10，
∴由勾股定理得，OE=OC2?CE2?52?42错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=3． 故选C．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理以及圆中辅助线的做法，是重点知识，要熟练掌握．
3. （2011四川攀枝花，5，3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，
点E、F分别为AC和AB的中点，则EF=（ ）