边：邻边是解题的关键．
11. （2011?贵港）如图所示，在矩形ABCD中，AB=错误！未找到引用源。，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（ ）
A、错误！未找到引用源。 B、错误！未找到引用源。 C、1 D、1.5
考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。 专题：推理填空题。
分析：先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解答：解：∵AB=错误！未找到引用源。，BC=2，
∴AC=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。， ∴AO=错误！未找到引用源。AC=错误！未找到引用源。， ∵EO⊥AC，
∴∠AOE=∠ADC=90°， 又∵∠EAO=∠CAD， ∴△AEO∽△ACD，
∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。， 即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。， 解得AE=1.5． 故选D．
点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
12. （2011?青海）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A、20 B、14 C、28 D、24
考点：菱形的性质；勾股定理。 专题：计算题。
分析：由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
解答：解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，
则由菱形对角线性质知，AO=错误！未找到引用源。AC=3，BO=错误！未找到引用源。BD=4，且AO⊥BO， ∴AB=5，
∴周长L=4AB=20， 故选A．
点评：本题考查菱形的性质，难度适中，要熟练掌握菱形对角线的性质，及勾股定理的灵活运用．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．已知四个三角形分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和； ②三个内角度数之比为3：4：5； ③三边长分别为7，24，25； ④三边长之比为5：12：13.
其中直角三角形有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．将直角三角形的三边长都扩大相同的倍数后,得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 3．如图18-78所示,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片,使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为 ( ) A.1 B.
43 C. D.2 324．已知△ABC的三边长分别为18,24,30,则最长边上的中线长为 ( )
A.12 B.13 C.18 D.15
5．如果a=3m,b=4m-1,c=2-5m,且a2+b2=c2,那么m的值是 ( ) A.2 B.
351 C. D.
428286.如图18-79所示,半圆Ⅰ和半圆Ⅱ的面积之和等于半圆Ⅲ的面积,那么△ABC是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定
7.如图18-80所示,在Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=10,若以C为圆心,CB为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长为 ( )
A.53 B.5 C.52 D.6
8.若直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍,则这个三角形有一个锐角是( ) A.15° B.30° C.45° D.75°
9.在△ABC中,AB=12 cm,AC=9 cm,BC=15 cm,则△ABC的面积为 ( ) A.108 cm2 B.54 cm2 C.180 cm2 D.90 cm2
10.设△ABC的三边长依次为a,b,c,且满足a3+b3+a2b+ab2-ac2-bc2=0,则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 二、填空题
11.若直角三角形两直角边长的比是3:4,斜边长是20,则斜边上的高是______.
12.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则这个三角形是_______三角形,它的面积为_______.
13.在Rt△ABC中,若斜边AB=2,则AB2+BC2+CA2=_________. 14.在△ABC中,a,b,c为∠A,∠B,∠C的对边长. (1)如果(a+c)(a-c)=b2,那么________=90°; (2)如果(a+c) 2=2ac+b2,那么________=90°.
15.在△ABC中,∠C=90°,c=13,面积为30,那么a+b=______.
16.在△ABC中,已知a2=
1212
b=c,则∠B=_______. 3417.如图18-81所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别为S1,S2,则S1+S2=_______.
18. 如图18-82所示,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=3.折叠该纸片,使点A与点B重合,折痕与AB,AC分别相交于点D和点E,折痕DE的长为_______.
19.如图18-83所示,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,已知阴影部分为一半圆,则阴影部分的面积是_______.
三、解答题
20.如图18-84所示,△ABC中,∠C=90°,MD是AB的垂直平分线,交BC于D,交AB于M,BD=8 cm,∠ADC=30°,求AD,AC的长.
21.一个梯子斜靠在某建筑物上,如果梯子的底端离建筑物9米,梯子可以达到的高度是12米,求梯子的长度.
22.在平静的湖面上有一支红莲,高出水面1米,一阵风吹来,花朵被
风吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,则这里水深多少米?
23.如图18-85所示的是由5个边长为1的正方形组成的图形.
222(1)求BA,BA,BA125的值;
2(2)从(1)中寻找规律,当有10个正方形时,求BA10的值; 2(3)当有n个正方形时,求BAn的值.
24.如图18-86所示,A,B两点都与平面镜相距4米,且A,B两点相距6米,一束光由A点射向平面镜,反射之后恰好经过B点,求B点与入射点的距离.
25.如图18-87所示,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点.已知∠BAC=60°, ∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE=32m,求点B到地面的垂直距离.
26.如图18-88所示的是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
(1) 画出拼成的这个图形的示意图; (2) 证明勾股定理.
参考答案
1.C[提示:①∠A=∠B+∠C,由∠A+∠B+∠C=180 °,得2∠C=180°,所以∠A=90°,它是直角三角形;②三个内角度数之比为3:4:5,则这三个内角分别为45°,60°,75°,它是锐角三角形;③④可由勾股定理的逆定理判定是直角三角形.因此①③④是直角三角形.]
2.A[提示:三角形三边长都扩大相同的倍数,不会影响三角形的形状,另外, 由勾股定理及
其逆定理也可以作出判定.]
3.C[提示:由折叠可知AD=A′D=3,AG=A′G,∠A=∠DA′G,在Rt△ABD中,由勾股定理BD=5,设AG=A′G=x,在Rt△A′BG中,x2+22=(4-x),解得x=
33,即AG=.] 224.D[提示:根据已知三边可由勾股定理的逆定理判定它是直角三角形,由直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半即可求得.]
5.D[提示:由题意可知(3m) 2+(4m-1) 2=(2-5m) 2,所以m=
1] 4???1???1?222
6.A[提示:?AB???BC???AC??,∴AB+BC=AC,∴△ABC为直角三
2?22?2?2?2??角形,且∠ABC=90°.]
7.A[提示:连接AC=CD,则
CD=
??122212AB=5,所以BC=CD=5,所以
AB2?BC2?102?52?53.] 8.C[提示:由已知可得c2=2ab,由勾股定理得c2=a2+b2,所以a2+b2=2ab,所以(a-b) 2=0,所以a=b,因此这个三角形为等腰直角三角形,锐角为45°.]
9.B
10.A[提示:因为a3+b3+a2b+ab2-ac2-bc2=0,所以(a+b)(a2+b2-c2)=0又因为a+b≠0,所以a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.]
11.9.6[提示:由题意可设两直角边长分别为3x,4x,斜边上的高为y,则由勾股定理,得(3x)
2
+(4x) 2=202,所以x=4,所以两直角边长分别为12和16.再由面积得
11?20?y??12?16,所22以y=
12?16=9.6.] 2012.直角 6 [提示:将等式进行变形,得(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0,从而确定a=3,b=4,c=5,再利用勾股定理的逆定理判定出三角形为直角三角形,进而求出这个直角三角形的面积.]
13.8[提示:在直角三角形中,由勾股定理得BC2+AC2=AB2,所以AB2+BC2+CA2=2AB2=2×22=8.]
14.(1)∠A (2)∠B[提示:(1)因为(a+c)(a-c)=b2,所以 a2-c2=b2,即a2=b2+c2.(2)原式化简得a2+c2=b2.]
15.17[提示:设两直角边长为a,b,则
2
1ab=30,且a2+b2=132,所以(a+b) 2-2ab=169,所以(a+b) 2=169+120,所以(a+b) 2=289,所以a+b=17.]
16.60°[提示:由题意可知b2=3a2,c2=4a2,所以a2+b2=c2,所以△ABC一定是直角三角形,且
∠C=90°,又因为a=
121c,所以a?c,所以∠A=30°,所以∠B=60°.] 422217.2π[提示:在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,由勾股定理得AC2+BC2=AB2=16,∵AB,BC分别
?AC??BC???????2?2?16??????2?.] 为两个半圆的直径,∴S1?S2?22818.1[提示:在Rt△ABC中, ∠A=30°,则AB=2BC,设BC=x,则AB=2x,在Rt△ABC中, 根据