【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据旋转的性质，即可解答； （2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：根据旋转的性质，证明A、D、E三点在同一条直线上，得到AE=AD+DE．再证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE．又CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，得到DE=2CM，所以AE=BE+2CM．
（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题． 【解答】解：（1）①如图所示：
②∠ADC+∠CDE=180°．
（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下： ∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°． ∴∠CDE=∠CED=45°． 又∵∠ADC=135°， ∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴A、D、E三点在同一条直线上． ∴AE=AD+DE． 又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，
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即∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE． ∴AD=BE．
∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE． ∴DE=2CM． ∴AE=BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为理由如下： ∵PD=1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上． ∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上． ∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H， 过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=∴BD=2． ∵DP=1， ∴BP=
．
，∠BAD=90°． 或
．
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上， ∴∠APB=∠ADB=45°． ∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
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∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD． ∴
=2AH+1．
．
∴AH=
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②． 同理可得：BP=2AH﹣PD． ∴
=2AH﹣1．
．
或
．
∴AH=
综上所述：点A到BP的距离为
【点评】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．
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27．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．
（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A，B两点代入可求解析式．
（2）分类讨论，以AB为边的菱形和以AB为对角线的菱形，抓住菱形边长为4和E的横坐标为3，可解F点坐标，即可求点F到二次函数图象的垂直距离． （3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为AN，根据勾股定理求AN．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0）， ∴0=a+b+ 0=25a+5b+ ∴a=，b=﹣3
∴解析式y=x2﹣3x+
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（2）当y=0，则0=x2﹣3x+ ∴x1=5，x2=1
∴A（1，0），B（5，0）
∴对称轴直线x=3，顶点坐标（3，﹣2），AB=4 ∵抛物线与y轴相交于点C． ∴C（0，）
如图1
①如AB为菱形的边，则EF∥AB，EF=AB=4，且E的横坐标为3 ∴F的横坐标为7或﹣1 ∵AE=AB=4，AM=2，EM⊥AB ∴EM=2∴F（7，2
），或（﹣1，2）
∴当x=7，y=×49﹣7×3+=6 ∴点F到二次函数图象的垂直距离6﹣2②如AB为对角线，如图2
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