24．如图，直线y=x+n与x轴交于点A，与y轴交于点B（点A与点B不重合），抛物线y=﹣x﹣2x+c经过点A、B，抛物线的顶点为C． （1）∠BAO= 45 °； （2）求tan∠CAB的值；
（3）在抛物线上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）求直线AB与两坐标轴的交点坐标，得OA=OB，可得结论；
（2）如图1，作辅助线，构建直角三角形，证明∠CBA=∠CBD+∠DBA=90°，利用勾股定理计算BC和AB的长，根据正切的定义代入求值即可；
（3）分两种情况：①当点P在CA左侧时，如图2，延长BD交抛物线于点E，此时，点P与点E重合，点P的坐标是（﹣4，6）；
②当点P在CA右侧时，如图3，作辅助线，直线CF与抛物线的交点就是P点． 【解答】解：（1）y=x+n， 当x=0时，y=n，则B（0，n）， 当y=0时，x=﹣n，则A（﹣n，0）， ∴OA=OB=n，
21
∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO=45°， 故答案为：45；
（2）由（1）得：B（0，n），A（﹣n，0）， ∵抛物线y=﹣x2﹣2x+c经过点A、B
∴，解得或（舍去）
∴A（﹣6，0），B（0，6），直线AB的解析式为：y=x+6， 抛物线为：y=﹣
﹣2x+6=﹣（x+2）2
+8，
∴抛物线的顶点为C（﹣2，8）， 设抛物线的对称轴为直线l，连结BC，
如图1，过点B作BD⊥l，则BD=CD=2，BD∥x轴， ∴∠CBD=45°， 又BD∥x轴， ∴∠DBA=∠BAO=45°， ∴∠CBA=∠CBD+∠DBA=90°， 在Rt△CDB中，BC==2， 在Rt△AOB中，AB==6
，
∴在Rt△ABC中，tan∠CAB==；
（3）①当点P在CA左侧时，如图2，
延长BD交抛物线于点E，当∠PCA=∠BAC时，CP∥AB， 此时，点P与点E重合，点P的坐标是（﹣4，6）；
②当点P在CA右侧时，如图3，过点A作AC的垂线交CP于点F，过点A作y轴的平行线m，过点C作CM⊥m，过点F作FN⊥m， 由于tan∠BAC=，所以tan∠ACF=tan∠ACP=， ∵Rt△CMA∽Rt△ANF，
22
∴，，AN=CM=，NF=MA=，
∴F（﹣
，﹣）；
易求得直线CF的解析式为：y=7x+22， 由
，消去y，得x2
+18x+32=0，
解得x=16或x=﹣2（舍去）， 因此点P的坐标（﹣16，﹣90）；
综上所述，P的坐标是（﹣4，6）或（﹣16，﹣90）．
23
25．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点（不含端点），且EG、FH均过正方形的中心O．
（1）填空：OH = OF （“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当四边形EFGH为矩形时，请问线段AE与AH应满足什么数量关系； （3）当四边形EFGH为正方形时，AO与EH交于点P，求OP+PH?PE的最小值．
2
【考点】SO：相似形综合题；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等，即可得出结论；
24
（2）根据相似三角形的对应边成比例，即可得出AE=AH，或AE+AH=1；
（3）根据△OPH∽△EPA，即可得到PH×PE=OP×AP，据此可得OP2+PH×PE=OP2+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA，再根据△OPE∽△OEA，即可得到OP×OA=OE2，据此可得OP2+PH×PE=OE2，最后根据OE的最小值求得OP2
+PH?PE的最小值． 【解答】解：（1）如图所示，∵正方形ABCD， ∴AO=CO，∠OAH=∠OCF=45°， 又∵∠AOH=∠COF， ∴△AOH≌△COF， ∴OH=OF； 故答案为：=；
（2）当四边形EFGH为矩形时，∠HEF=90°， ∴∠AEH+∠BEF=90°，
在正方形ABCD中，∠HAE=∠EBF=90°， ∴∠AEH+∠AHF=90°， ∴∠AHE=∠BEF， ∴△AEH∽△BFE， ∴
=
，
令AE=x，AH=y，则BF=1﹣y，BE=1﹣x， ∴
=
，
即x﹣y=x2
﹣y2
=（x+y）（x﹣y）， ∴x=y或x+y=1， ∴AE=AH，或AE+AH=1；
（3）如图所示，当四边形EFGH为正方形时，∠HOE=90°，OH=OE， ∴∠OEH=∠OHE=45°， ∴∠OHP=∠PAE=45°， ∵∠HPO=∠APE， ∴△OPH∽△EPA，
25
∴
=，即PH×PE=OP×AP，
∴OP2
+PH×PE=OP2
+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA， ∵∠OEP=∠OAE=45°，∠POE=∠EOA， ∴△OPE∽△OEA， ∴
=，即OP×OA=OE2，
∴OP2
+PH×PE=OE2
，
∵当OE⊥AB时，OE最小，此时OE=， ∴当OE=时，OP2
+PH×PE最小，且等于．
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