11?x???3得?，∴k=
16?y??3?16?03?8. 11?33∴所求的直线方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0.
方法二 设所求的直线方程为y=k(x-3),
3k?2?xA???y?k(x?3)?k?2则?,解得?,
4k2x?y?2?0??y?A?k?2?3k?3?
xB???y?k(x?3)?k?1
由?,解得?.
?6kx?y?3?0??y?B?k?1?∵P(3,0)是线段AB的中点， ∴yA+yB=0，即
2
4k?6k+=0， k?2k?1∴k-8k=0，解得k=0或k=8. 又∵当k=0时，xA=1,xB=-3, 此时
xA?xB1?3??3,∴k=0舍去， 22∴所求的直线方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0.
§9.3 圆的方程
基础自测
2
2
2
1.方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 . 答案 -2＜a＜
2
2
2 32.圆x+y+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是 .
1??答案 ???,?
4??3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 . 答案 （x-1）+(y-1)=4
4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 . 答案 (x-2)+(y+1)=9
5.直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）+(y+b)=r (r＞0)的圆心位于第 象限. 答案 二
例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为 . 答案 x+y-4x=0
例2 （14分）已知圆x+y+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径.
解 方法一 将x=3-2y, 代入方程x+y+x-6y+m=0, 得5y-20y+12+m=0.
4分
设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件： y1+y2=4,y1y2= 分
而x1=3-2y1,x2=3-2y2. ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2. 6分
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
8
12?m. 52
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5?1?∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为??,3?，半径r=.
2?2?
14分
方法二 如图所示，设弦PQ中点为M， ∵O1M⊥PQ，∴kO1M=2.
1??∴O1M的方程为:y-3=2?x??,
2??即：y=2x+4.
?y?2x?4由方程组?.
x?2y?3?0?解得M的坐标为（-1，2）.
则以PQ为直径的圆可设为（x+1）+（y-2）=r.
6分
2
2
2
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上. ∴（0+1）+（0-2）=r，即r=5,MQ=r. 在Rt△O1MQ中，O1Q=O1M+MQ.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1?(?6)2?4m?1?2
∴???1?+（3-2）+5=.
4?2?∴m=3.∴半径为
14分
方法三 设过P、Q的圆系方程为x+y+x-6y+m+?(x+2y-3)=0. 由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上. ∴m-3?=0，即m=3?.
2
2
2
25?1?,圆心为??,3?. 2?2?
3分
∴圆的方程可化为
x+y+x-6y+3?+?x+2?y-3?=0 即x+(1+?)x+y+2(?-3)y=0.
2
2
2
6分
?1??2(3??)?∴圆心M?? ,?，
22??分
又圆在PQ上. ∴-
7
1??+2（3-?）-3=0，∴?=1，∴m=3. 2
12分
5?1?∴圆心为??,3?，半径为.
2?2?
14分
2
2
例3 已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x+y的最大值和最小值.
解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时
2?0?b2?3，解得b=-2±6.
2
2
所以y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6.
（2）x+y表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为(2?0)2?(0?0)2=2，
222
所以x+y的最大值是（2+3）=7+43，
2
2
222
x+y的最小值是（2-3）=7-43.
1.（20132 山东文，11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 . 答案 (x-2)+(y-1)=1
2.已知圆C：（x-1）+(y-2)=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R). （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交； （2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,
即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），
又有（3-1）+（1-2）=5＜25,∴点（3，1）在圆内部， ∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.
（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2r2?CM2 =225?[(3?1)2?(1?2)2]=45. 此时，kl=-2
2
2
2
2
2
1kCM,从而kl=-
1=2. 2?11?3∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.
3.已知点P（x，y）是圆(x+2)+y=1上任意一点.
（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x-2y的最大值和最小值； （3）求
y?2的最大值和最小值. x?12
2
解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为 d=
3?(?2)?4?0?1232?42=
6. 5∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为 d+r=
61161+1=，最小值为d-r=-1=. 55552
2
（2）设t=x-2y,
则直线x-2y-t=0与圆（x+2）+y=1有公共点. ∴
?2?t1?222≤1.∴-5-2≤t≤5-2，
∴tmax=5-2，tmin=-2-5. （3）设k=
y?2， x?12
2
则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）+y=1有公共点，
∴
?3k?2k2?1≤1.∴
3?33?3≤k≤, 44∴kmax=
3?33?3，kmin=. 44一、填空题
1.圆x+y-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为 . 答案 2
2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆（x-1）+(y-1)=4的内部，则实数a的取值范围是 . 答案 -2
2
2
2
1＜a＜1 52
2
3.已知A（-2，0），B（0，2），C是圆x+y-2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是 . 答案 3+2
4.圆心在抛物线y=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 . 答案 x+y-x±2y+
2
2
2
1=0 42
2
5.若直线2ax-by+2=0 (a＞0,b＞0)始终平分圆x+y+2x-4y+1=0的周长，则答案 4
6.从原点O向圆：x+y-6x+答案 ?
2
2
11?的最小值是 . ab27=0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为 . 42
2
7.（20132四川理，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）+（y-1）=2，则C上各点到l距离的最小值为 . 答案 2
8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 . 3?25?答案 （x+2)+?y??=
2?4?2
2二、解答题
9.根据下列条件求圆的方程：
（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；
（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解 （1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：
x2?y2=(x?1)2?(y?1)2，即x+y-1=0.
?x?y?1?0解方程组?,得圆心C的坐标为（4，-3）.
2x?3y?1?0?又圆的半径r=|OC|=5,
所以所求圆的方程为（x-4）+(y+3)=25.
2
2