∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即∴m＞5或m＜-5.
m5＞5,
故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知
m2r-d=1，即5-=1. 52
2
2
得m=±25,
∴当m=±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d=
m22?r，即25, 225解得m=±故当m=±
2
52. 252时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 22
2.从圆C：x+y-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO| （O为原点）.求|PT|的最小值及此时P的坐标.
解 已知圆C的方程为(x-2)+(y-3)=1. ∴圆心C的坐标为（2，3），半径r=1. 如图所示，连结PC，CT.由平面几何知， |PT|=|PC|-|CT| =（a-2）+（b-3）-1.
由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|=|PO|， 即（a-2）+（b-3）-1=a+b. 化简得2a+3b-6=0. 得|PT|=a+b=当a=
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
12
（13a-24a+36）. 912时， 1313|PT|min=
13?(61221213. )?24??36=131313|PT|的最小值为
6?1218?13，此时点P的坐标是?,?. 13?1313?2
2
3.求过点P（4，-1）且与圆C：x+y+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程. 解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r, 则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，
因为圆C：x+y+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3），
2
2
?n?22?3?m?1?1?1则?, ?(m?1)2?(n?2)2?(m?4)2?(n?1)2?r?解得m=3,n=1,r=5,
所以所求圆的方程为(x-3)+(y-1)=5.
方法二 因为圆C：x+y+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0, 所以设所求圆A的方程为 x+y+2x-6y+5+?(2x-y)=0,
因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程， 解得?=-4,
所以所求圆的方程为x+y-6x-2y+5=0.
4.圆x+y=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为?，直线l交圆于A、B两点. （1）当?=
3?时,求AB的长； 42
2
2
2
2
2
2
2
2
2
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程. 解 （1）当?=
3?时，kAB=-1， 4直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0. 故圆心（0，0）到AB的距离d=
0?0?12=
2， 2从而弦长|AB|=28?
1
=30. 2
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，y1+y2=4.
22??x1?y1?8,由?
22??x2?y2?8,两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0， 即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0， ∴kAB=
y1?y21?.
x1?x221（x+1），即x-2y+5=0. 2∴直线l的方程为y-2=
一、填空题
1.（20132辽宁理）若圆x+y=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围为 . 答案 (-3,3)
2.（20132重庆理，3）圆O1：x+y-2x=0和圆O2：x+y-4y=0的位置关系是 . 答案 相交
22
3.已知圆C：（x-a）+(y-2)=4 (a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为23时，则
2
2
2
2
2
2
a= .
答案 2-1
4.（20132全国Ⅰ文）若直线答案
xy1122
与1的大小关系是 . ??1与圆x+y=1有公共点，则?aba2b21a2?1b22
≥1
2
5.能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为 . 答案 （-35，-5）∪（5，35）
6.（20132湖北理）过点A（11，2）作圆x+y+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有 条. 答案 32
22
7.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）+(y-2)=4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a= .
2
2
答案 0
8.（20132湖南文，14）将圆x+y=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是 ；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是 . 答案 （x-1）+y=1 二、解答题
9.已知圆C：x+y+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程. 解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1，或切线过原点.
当切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x-2（b-3）x+（b-4b+3）=0. 或2x+2(c-1)x+(c-4c+3)=0, 由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0， 即［2(b-3)］-4323（b-4b+3)=-b+2b+3=0, ∴b=3或-1,Δ2=0,
即［2(c-1)］-4323(c-4c+3)=-c+6c-5=0.
∴c=5或1,当切线过原点时，设切线为y=kx,即kx-y=0. 由
?k?21?k22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
33或-
33=2，得k=2±6,∴y=(2±6)x.
故所求切线方程为：x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±6)x. 10.已知曲线C：x+y-4ax+2ay-20+20a=0.
（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；
（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上； （3）若曲线C与x轴相切，求a的值. （1）证明 曲线C的方程可变形为 (x+y-20)+(-4x+2y+20)a=0， ??x?4?x2?y2?20?0由?,解得?，
y??2??4x?2y?20?0??2
2
2
2
点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）. （2）证明 原方程配方得(x-2a)+(y+a)=5(a-2),
2
2
2
∵a≠2时，5(a-2)＞0,
∴C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是5|a-2|的圆.
2
?x?2a设圆心坐标为（x,y），则有?,
y??a?消去a得y=-
11x,故圆心必在直线y=-x上. 22（3）解 由题意得5|a-2|=|a|,解得a=
2
2
5?5. 211.已知圆C：x+y-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解 假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为（x-1）+(y+2)=9,圆心C（1，-2），则
2
2
?m?1m?1?AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即N??,?,以AB为直径的圆经过原点，
22??∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=(3?m)2∴|AN|=9?.
21?2?m2，
又|ON|=(?m?12m?12)?()， 22由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1. ∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.
12.设O为坐标原点，曲线x+y+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP2OQ=0.
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程.
22
解 （1）曲线方程为（x+1）+(y-3)=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆. ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称， ∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1. （2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程为y=-x+b. 将直线y=-x+b代入圆的方程， 得2x+2(4-b)x+b-6b+1=0. Δ=4(4-b)-4323(b-6b+1)＞0, 得2-32＜b＜2+32. 由根与系数的关系得
2
2
2
2
2
2
b2?6b?1x1+x2=-(4-b),x12x2=.
2y12y2=b-b(x1+x2)+x12x2=
2
b2?6b?1+4b. 22
∵OP2OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b-6b+1+4b=0, 解得b=1∈(2-32,2+32), ∴所求的直线方程为y=-x+1.
§9.5 曲线与方程
基础自测
1.已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么下列说法错误的是 （只填序号）. ①曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0 ②凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上
③不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0 ④不在C上的点的坐标必不适合F（x，y）=0 答案 ①②③
2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是 . 答案 线段AB
3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是 . 答案 8
4.（20132北京理）若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为 (写出曲线形状即可). 答案 抛物线
5.已知直线l的方程是f（x，y）=0，点M（x0，y0）不在l上，则方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的曲线与l的位置关系是 . 答案 平行
例1 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B， 求线段AB中点M的轨迹方程. 解 设点M的坐标为（x,y）, ∵M是线段AB的中点，
∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）. ∴PA=（2x-2，-4），PB=（-2，2y-4）. 由已知PA2PB=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0， 即x+2y-5=0.
∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.
例2 （5分）在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B（-则动点A的轨迹方程是 . 答案
aa1,0），C（，0）且满足条件sinC-sinB=sinA,22216x2a2-
16y23a2=1（y≠0)的右支
2
2
例3 如图所示，已知P（4，0）是圆x+y=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形