（2）设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0 将P、Q点的坐标分别代入①得：
22
①
?4D?2E?F??20 ?
D?3E?F?10② ?2
令x=0，由①得y+Ey+F=0 ④ ③由已知|y1-y2|=43，其中y1、y2是方程④的两根，
222
所以（y1-y2）=(y1+y2)-4y1y2=E-4F=48 解②、③、⑤组成的方程组得
D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4， 故所求圆的方程为 2222
x+y-2x-12=0或x+y-10x-8y+4=0.
2
2
⑤
10.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x+y-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.
解 将圆方程化为(x-1)+(y-1)=1,其圆心为C（1，1），半径r=1,如图，由于四边形PACB的面积等于Rt△PAC面积的2倍，所以SPACB=23
13|PA|3r=|PC|2?1. 22
2
∴要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小.
当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,|PC|最小,由点到直线的距离公式,得 |PC|min=
3?4?8=3, 52
2
故四边形PACB面积的最小值为22.
11.已知圆x+y=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
解 (1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y). ∵P点在圆x+y=4上,∴(2x-2)+(2y)=4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)+y=1. (2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中, |PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ON⊥PQ, 所以|OP|=|ON|+|PN|=|ON|+|BN|, 所以x+y+(x-1)+(y-1)=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x+y-x-y-1=0.
12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上. (1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;
(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x+y=r相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
解 (1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)+(y-b)=25, 其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.
又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a)+(0-b)=25. ??a?b?10?0解方程组?, 22?(?5?a)?(0?b)?25?2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
?a??10?a??5可得?或?,
b?0b?5??故所求圆C的方程为
(x+10)+y=25或(x+5)+(y-5)=25.
2
2
2
2
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=
101?1=52.
2
2
2
当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x+y=r相外切的圆；
当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x+y=r相外切；
222
当r满足r+5=d,即r=52-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x+y=r相外切.
2
2
2
§9.4 直线、圆的位置关系
基础自测
2
2
1.若直线ax+by=1与圆x+y=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为 . 答案 在圆外
2.若直线4x-3y-2=0与圆x+y-2ax+4y+a-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是 . 答案 -6＜a＜4
3.两圆x+y-6x+16y-48=0与x+y+4x-8y-44=0的公切线条数为 . 答案 2
4.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+4?x2有两个不同的交点，则k的取值范围是 .
2
2
2
2
2
2
2
?53?答案 ?,?
?124?5.(20132重庆理，15)直线l与圆x+y+2x-4y+a=0 (a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为 . 答案 x-y+1=0
2
2
例1 已知圆x+y-6mx-2（m-1）y+10m-2m-24=0（m∈R）. （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上； （2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明 配方得：（x-3m）+［y -(m-1)］=25，
2
2
2
2
2
?x?3m设圆心为（x，y），则?，消去m得
?y?m?1l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上. （2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0， 则圆心到直线l1的距离为d=∵圆的半径为r=5，
3m?3(m?1)?b103?b10=.
∴当d＜r，即-510-3＜b＜510-3时，直线与圆相交； 当d=r,即b=±510-3时，直线与圆相切；
当d＞r，即b＜-510-3或b＞510-3时，直线与圆相离.
（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=弦长=2r2?d2且r和d均为常量.
∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.
例2 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x+y-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程.
解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB==3. b?3?3,根据光的反射定律，反射光线的斜率kb?32
2
3?b10，
反
∴反射光线所在直线的方程为 y=
3(x-b), b?32
2
即3x-(b+3)y-3b=0.
∵已知圆x+y-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2）， 半径为1, ∴
6?(b?3)?2?3b9?(b?3)2=1,解得b1=-
3,b2=1. 4∴kAB=-
43或kAB=-. 342
2
2
2
∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
方法二 已知圆C：x+y-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)+(y+2)=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切. 设l的方程为y-3=k(x+3),则
5k?51?k22=1,
即12k+25k+12=0. ∴k1=-
2
43，k2=-. 34则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.
??3?3kb??kk5k?5??1. ∴?2k?2?b,消去b得
2?1?k?1?1?k2?即12k+25k+12=0,∴k1=-
2
43,k2=-. 342
2
2
2
则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
例3 已知圆C1：x+y-2mx+4y+m-5=0,圆C2：x+y+2x-2my+m-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切； 2
2
（2）圆C1与圆C2内含？
解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后 C2
2
2
2
1:(x-m)+(y+2)=9;C2:(x+1)+(y-m)=4.
（1）如果C1与C2外切，则有(m?1)2?(m?2)2=3+2. (m+1)2
+(m+2)2
=25.
m2
+3m-10=0,解得m=-5或m=2.
（2）如果C1与C2内含，则有(m?1)2?(m?2)2＜3-2. (m+1)2
+(m+2)2
＜1,m2
+3m+2＜0, 得-2＜m＜-1,
∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切； 当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.
例4 （14分）已知点P（0，5）及圆C：x2
+y2
+4x-12y+24=0. （1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； （2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
解 （1）方法一 如图所示，AB=43，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=23， 圆x2
+y2
+4x-12y+24=0可化为（x+2）2
+（y-6）2
=16， 圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4， 在Rt△ACD中，可得CD=2.
2分
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,
即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式：
?2k?6?5=2，得k=
3k2?(?1)24. 此时直线l的方程为3x-4y+20=0. 4分
又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.
6分
则y2
-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-23,
∴y2-y1=43,故x=0满足题意.
∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.
8分
方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y-5=kx,即y=kx+5,
??y?kx?5联立直线与圆的方程?2, 2?x?y?4x?12y?24?0?消去y得（1+k）x+(4-2k)x-11=0
2分
设方程①的两根为x1,x2,
22
①
2k?4??x1?x2??1?k2 由根与系数的关系得??xx??1112?1?k2?
4分
由弦长公式得1?k2|x1-x2| =(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]=43, 将②式代入，解得k=
②
3， 4
此时直线的方程为3x-4y+20=0.
6分
又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0. ∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.
8分
（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）, 则CD⊥PD，即CD2PD=0， 10分
（x+2,y-6）2(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为 x+y+2x-11y+30=0.
14分
2
2
1.m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x+y=5. （1）无公共点； （2）截得的弦长为2； （3）交点处两条半径互相垂直.
解 （1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=5, 圆心到直线2x-y+m=0的距离 d=
22
2
m2?(?1)2=
m5，