考点43 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ8）O为坐标原点，F为抛物线C：y2?42x的焦点，P为C上一点，若|PF|?42，则△POF的面积为（ ） A.2 B.22 C.23 D.4
【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.
【解析】选C.设P(x1,y1)，则|PF|?x1?P?x1?22?42，解得x1?32，因为P2为C上一点，则y12?42x1?42?32?24，得 |y1|?26，所以
S?PO?F1?2?26?23. 22.（2013·江西高考文科·Ｔ9）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|= （ ） A.2: 5 B.1:2 C. 1: 5 D. 1:3 【解题指南】由抛物线的定义把
FM转化为点M到准线的距离，再结合直线
的斜率，借助直角三角形进行求解.
【解析】选C.设直线FA的倾斜角为?，因为F（0,1），A（2,0），所以直
线FA的斜率为?1，即tan???1，过点M作准线的垂线交准线于点Q，由
22抛物线定义得|MN|=1:5. FM?MQ，在MQN中
|MQ|1?|QN|2,可得
|MQ|1?|MN|5，即|FM|：
3. （2013·重庆高考文科·Ｔ10）设双曲线C的中心为点O，若有且只有
一对相交于点O、所成的角为600的直线A1B1和A2B2，使A1B1?A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离
心率的取值范围是 （ ） A.(23232323,2] B.[,2) C.(,??) D.[,??) 3333【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可.
【解析】选A.由题意知, 直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为600,所以直线方程为y??3x或y??3x,又因为有且只有一对相较于点O、所成的33b??3,3a角为600的直线A1B1和A2B2，使A1B1?A2B2，所以渐近线斜率满足解得
23?e?2.故选A. 3x2y24. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ10）已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右
ab焦点F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1,?1)，则E的方程为（ ）
x2y2x2y2A. ??1 B. ??1
45363627x2y2C. ??1
2718x2y2 D. ??1
189
【解题指南】本题中给出AB的中点坐标，所以在解题时先设出A，B两点坐标，然后采用点差法求解.
x2y2【解析】选D.由椭圆2?2?1得，b2x2?a2y2?a2b2，
abx2y2因为过F点的直线与椭圆2?2?1(a?b?0)交于A，B两点，
ab设A(x1,y1)，B(x2,y2),则
x1?x2y?y2?1，1??1 22则b2x12?a2y12?a2b2 ①
b2x2?a2y2?a2b2 ②
22由①-②得b2(x12?x22)?a2(y12?y22)?0， 化简得b2(x1?x2)(x1?x2)?a2(y1?y2)(y1?y2)?0.
y1?y2b22b(x1?x2)?2a(y1?y2)?0， ?2
x1?x2a220?(?1)1b21?，即2?. 又直线的斜率为k?3?122aa2?91因为b?a?c?a?9，所以2?，解得a2?18，b2?9.
2a2222x2y2故椭圆方程为??1.
189二、解答题
x2y2=1的焦点在x轴上 5.（2013·安徽高考理科·Ｔ18）设椭圆E:2+a1-a2（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴与点Q，并且F1P^FQ，证明：当a变化时，点p在某定直线1上。
【解析】(1)因为焦距为1，所以2a2-1=，解得a2=，从而椭圆E的方程为
8x28y2+=1. 531458
（2）设P（x0,y0）,F1(-c,0),F2(c,0)，其中c=2a2-1，由题设知x01c，则直线F1P的斜率KFP=1y0yy，直线F2P的斜率KF2P=0，KF1P=0，故直线F2P的方程为x0+cx0-cx0+cy=y0cy0cy(x-c), 当x=0时，y=（0，0），即点Q坐标为，因此直线F1Q的x0-cc-x0c-x0斜率KFQ=1y0y0y0。由于F1P^FQ，所以K.K=..=-1, F1PF1Q1c-x0x0+cc-x0化简得y02=x02-(2a2-1) ①
将① 代入椭圆E的方程，由于点P（x0,y0）在第一象限，解得x0=a2，y0=1-a2，即点P在定直线x+y=1上。
6. （2013·天津高考文科·Ｔ18） 与（2013·天津高考理科·Ｔ18）相同
x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F, 离心率为3ab3直线被椭圆截得的线段长为43.
3, 过点F且与x轴垂直的
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左、右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交
DB?AD·CB?8, 求k的值. 于C, D两点. 若AC·【解题指南】(Ⅰ)由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a，b的值，写出椭圆方程.
(Ⅱ)写出过点F且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的
DB?关系表示AC·AD·CB求解.
【解析】(Ⅰ)设F(?c,0)由?ca3,知a?3c,过点F且与x轴垂直的直线为x??c,3(?c)2y26b26b43代入椭圆方程有2?2?1,解得y??,于是?,解得b?2,又
ab333x2y2a?c?b，从而a?3,c?1，所以椭圆方程为??1,.
32222(Ⅱ)设C(x1,y1),D(x2,y2)，由F(?1,0)得直线CD的方程为y?k(x?1),由方程组
?y?k(x?1),?2消去y，整理得(2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0. ?xy2?1,??2?36k23k2?6 可得x1?x2?,x1x2?.因为A(?3,0),B(3,0),所以222?3k2?3k )AC·DB?AD·CB?(1x?3,1y)?(3?2x,?2y)?(2x?3,2y)?(3?1x,?1y?6?2x1x2?2y1y2?6?2x1x2?2k2(x1?1)(x2?1)?6?(2?2k2)x1x2?2k2(x1?x2)?2k2?6?2k?122?3k22
2k2?12由已知得6??8，解得k??2.
2?3k27.（2013·北京高考文科·Ｔ19）直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:错误！未找到引用源。+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点。
（1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长； （2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形。 【解题指南】(1)把线段OB的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C的坐标,再求AC的长.
(2)用反证法.假设OABC为菱形,则只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.
【解析】（1）线段OB的垂直平分线为y?，因此A、C点的坐标为(?3,)，于是AC的长为23。
（2）只需证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。
x2设OA=OC=r（r>1)，则A、C为圆x?y?r与椭圆W:?y2?1的交点。
422212123x2232?r2?1，x??r?1 ，所以A点与C点的横坐标互为相反数或相等， 43此时B点为顶点。因此四边形OABC不可能是菱形。