8. （2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ20）平面直角坐标系xOy中，过椭
x2y2圆M：2?2?1(a>b>0)右焦点的直线x+y-错误！未找到引用源。=0交M于
abA，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 （1）求M的方程
（2）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值
【解题指南】（1）涉及到弦AB的中点问题，考虑点差法，建立关于a,b的方程组，解得a,b的值，确立M的方程；
（2）将四边形的面积表示出来，可转化为S＝AB?h，然后利用函数的知识求最值.
x12y12【解析】设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则2?2?1①,
abx22y22??1 ②,①-②得 a2b212?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0.因为
a2b212y1?y2??1，设P?x0,y0?，因为P为ABx1?x212的中点，且OP的斜率为，所以y0?x0，即y1+y2??x1?x2?，所以可以解得
a2?2b2，
12x2y2即a?2?a?c?，即a?2c，又因为c?3，所以a＝6，所以M的方程为??1.
63222222(2)因为CD?AB，直线AB的方程为x?y?3?0，所以设直线CD方程为
x2y243y?x?m，将x?y?3?0代入??1得：3x2?43x?0，解得x?0或x?, 不
633?43x2y23?46防令A0,3、B??3,?3??，所以可得AB?3，将y?x?m代入6+3?1得：
????3x2?4mx?2m2?6?0，
设C?x3,y3?，D?x4,y4?，则CD?2??x3?x4??4x3x4?又因为??16m2?12?2m2?6??0，即?3?m?3，
22218?2m2, 3所以当m?0时，CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为
186AB?CD?. 239. （2013·辽宁高考文科·Ｔ20）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ20）相同 如图，
抛物线C1:x2?4y,C2:x2??2py(p?0).点M(x0,y0)在抛物线C2上，过M
作C1的切线，切点为A,B(为M原点O时，A,B重合于O).当x0?1?2时，切线MA的斜率为?。
(?)求p的值；
(??)当M在C2上运动时，求线段AB的中点N的轨迹方程（A,B重合于O，中
12点为O）.
【解题指南】利用导数的几何意义，求切线的斜率，建立相关参数的方程求参数；根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系，消去相关点的坐标，可得轨迹方程。 【解析】(?)设A(a,b)，则
kMA?y?x?a?1a. 2已知切线MA在抛物线C1:x2?4y上的切点为A(a,b)，
由导数的几何意义得，k1MA?y?x?a?2a??12. 所以a??1.从而b?1a2?144. 故点A(?1,14).
由点斜式得切线MA的方程：y?1??142(x?1). 由于点M(x0,y0)在抛物线C2上，又在切线MA上，
?所以得??y110?4??2(x0?1), ??x20??2py0.将x0?1?2代入上述方程组，即得p?2 故p的值为2.
(??)设N(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),x1?x2
又点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线C1:x2?4y上， 则y111?4x21,y2?4x22，
由于N为线段AB的中点，所以x?x1?x2y21?y2x1?x22,y?22?8. 切线的方程分别为：y?x2MA,MB1x14?2(x?x1), ②
2y?x24?x22(x?x2) ③ 由②③得切线MA,MB得交点M(xx20,y0)的坐标x0?x1?2,y?x1x204 又由于点M(x20,y0)在抛物线C2上，所以x0??4y0 由④⑤得x22x1?x21x2??6 ⑥
由①得x221?x2?2x?4x2?x1?x22?2x1x2，x1?x22?8y ⑦ 将⑥代入得4x2?x21?x22?2x1x22?3(x21?x22) ⑧由⑦⑧得x2?43y,x?0.
① ④ ⑤
当x1?x2时，A,B重合于O，中点N为O,其坐标满足方程x2?y 综上可知，线段AB的中点N的轨迹方程为x2?y.
x210. （2013·湖南高考文科·Ｔ20）已知F1，F2分别是椭圆E:?y2?1的左、
54343右焦点，F1，F2关于直线x?y?2?0的对称点是圆C的一条直径的两个端点。 （Ⅰ）求圆C的方程；
(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b。当ab最大时，求直线l的方程。
【解题指南】第（Ⅰ）问的关键是明白圆的直径和椭圆的焦距等长，圆心就是原点关于直线x?y?2?0的对称点，否则会增加许多计算量。第(Ⅱ)问要掌握利用弦心三角形求直线被圆所截得的弦长a，利用弦长公式
d?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?1?12?(y?y)?4y1y2求直线被椭圆截得的弦122k长b，然后再根据化简的结果用相关知识去解题。
【解析】（I）由题设知F1,F2的坐标分别是(?2,0),(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x?y?2?0的对称点，设圆心坐标为(x0,y0)，由
y0??x0?1x0?2?x0?y0?2?0得y?20?22??，所以圆C的方程为(x?2)2?(y?2)2?4
（II）由题意，可设直线l方程为x?my?2，则圆心到直线l的距离为
d?|2m|1?m2，所以b?24?d2?41?m2，
??x?my?22?x由??y2?1?5得(m2?5)y2?4my?1?0，
设l与E的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，
则y1?y2??于是
4m1,yy??， 12m2?5m2?5a?(x1?x2)2?(y1?y2)2??(1?m2)(y1?y2)22?(1?m2)?(y?y)?4y1y2?12???16m24??(1?m)?2??22?(m?5)m?5?2，
25(m2?1)?m2?5从而
85m2?185m2?1ab???22m?5(m?1)?485m2?1?4m2?1?285m2?1?4m2?1?25，
当且仅当m2?1?4m?12，即m??3时等号成立，故当m??3时，ab最大，
此时，直线l的方程为x?3y?2或x??3y?2，即x?3y?2?0，或
x?3y?2?0.
x2y211.(2013·浙江高考理科·T21)如图,点P(0,-1)是椭圆C1: 2?2?1(a＞b＞0)ab的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径. l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程.