个帅哥帅哥的ffff 3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系
学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．
知识点一 向量法判断线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直
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2，，1?，平面α的法向量为μ2＝?3，2，?，则直线l思考 若直线l的方向向量为μ1＝?2??3??与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？
2
答案 垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直
3线l与平面α垂直．
判断直线与平面的位置关系的方法：
(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线?l⊥α.
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α.
梳理 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)．
知识点三 向量法判断面面垂直
思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff
→→
已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，→
AP＝(－1,2，－1)． 判断下面结论的对错： 1．AP⊥AB；(√) 2．AP⊥AD.(√)
→
3.AP是平面ABCD的法向量．(√) →→
4.AP∥BD.(×)
类型一 证明线线垂直
例1 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是1
侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
4
证明 设AB的中点为O，连结OC，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
1
－，0，0?， 由已知得A??2?13
，0，0?，C?0，，0?， B??2??2?N?0，
?
131?，0，1?， ，，B1??2?24?二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff ∵M为BC的中点， 13
∴M?，，0?.
?44?
131—→→
∴MN＝?－，，?，AB1＝(1,0,1)，
?444?11→—→
∴MN·AB1＝－＋0＋＝0.
44→—→
∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.
反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
证明 ∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，AC，BC，C1C两两垂直．
如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， →
∴AC＝(－3,0,0)， —→
BC1＝(0，－4,4)， →—→∴AC·BC1＝0，∴AC⊥BC1.
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 类型二 证明线面垂直
例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
→→—→
证明 方法一 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)， E(2,2,1)，F(1,1,2)． →
∴EF＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． —→
AB1＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，
→
AC＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． →—→而EF·AB1
＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.
→→EF·AC＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，AB1?平面B1AC，AC?平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC.
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff →→—→
方法二 设AB＝a，AD＝c，AA1＝b，
1—→→→1→—→—→1—→—→1—→→
则EF＝EB1＋B1F＝(BB1＋B1D1)＝(AA1＋BD)＝(AA1＋AD－AB)＝(－a＋b＋c)，
2222—→→—→
∵AB1＝AB＋AA1＝a＋b， →—→1∴EF·AB1＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
21
＝(b2－a2＋c·a＋c·b) 21
＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. 2→—→
∴EF⊥AB1，即EF⊥AB1， 同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，
AB1?平面B1AC，B1C?平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC.
反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)基向量法：
①设出基向量，然后表示直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示； ③利用数量积计算． (2)坐标法：
①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示； ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；
③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行． 跟踪训练2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：直线PB1⊥平面PAC.
二位分为Greg