个帅哥帅哥的ffff
11?
C1(0,1,1)，E??2，2，1?，
11→→
，－，1?，AC＝(－1,1,0)， ∴CE＝?2??2→—→
BD＝(－1，－1,0)，A1D＝(－1,0，－1)， —→
A1A＝(0,0，－1)，
11→→
－?＋0×1＝0， ∵CE·BD＝(－1)×＋(－1)×??2?2∴CE⊥BD.显然A1C1⊥BD，故只有①②正确．
→→→
6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP→
＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的一个法向→→
量；④AP∥BD.
其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ①②③
→→
解析 因为AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0， →→
则AB⊥AP，即AP⊥AB； →→AP·AD＝(－1)×4＋2×2＋0＝0， →→
则AP⊥AD，即AP⊥AD，
又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD， →
故AP是平面ABCD的一个法向量．
→→→
BD＝AD－AB＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)， →→
所以AP与BD不平行．
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝22，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为________．
答案 垂直
解析 以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
依题意可得D(0,0,0)，P(0,1，3)，C(0,2,0)，A(22，0,0)， M(2，2,0)．
→
∴PM＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， →
AM＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， →→∴PM·AM＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， →→
即PM⊥AM，∴AM⊥PM.
8．在空间直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cosx＋1，2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]．若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________． ππ答案 或 23
→→
解析 由题意得OP⊥OQ， ∴cosx·(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0. ∴2cos2x－cosx＝0， 1∴cosx＝0或cosx＝. 2又∵x∈[0，π]， ππ∴x＝或x＝. 23
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 9．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝21，则n的坐标为________________． 答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)
→→
解析 据题意，得AB＝(－1，－1,2)，AC＝(1,0,2)． 设n＝(x，y，z)， ∵n与平面ABC垂直，
→??－x－y＋2z＝0，?y＝4z，AB＝0，?n·??∴?即?解得?
??→?x＋2z＝0，?x＝－2z.?AC＝0，?n·
∵|n|＝21，∴x2＋y2＋z2＝21， 解得z＝1或z＝－1. 当z＝1时，y＝4，x＝－2； 当z＝－1时，y＝－4，x＝2， ∴n＝(－2,4,1)或n＝(2，－4，－1)．
→→→→→
10．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)＝________. 4015
，－，4? 答案 ?7?7?
→→→→→→
解析 AB·BC＝3＋5－2z＝0，故z＝4.BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，且BP·BC＝3(x－1)＋y－1240154015
，－，4?. ＝0，得x＝，y＝－.所以(x，y，z)＝?7?7?77二、解答题
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.
→→→
证明 设正方体的棱长为1，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff
11，1，?， 则A(1,0,0)，E?2??A1(1,0,1)，D1(0,0,1)， 1
0，，0?. F??2?
1—→1→—→
0，1，?，A1D1＝(－1,0,0)，D1F＝?0，，－1?， ∴AE＝?2???2?1→—→
∴AE·A1D1＝0×(－1)＋1×0＋×0＝0，
2→—→11AE·D1F＝－＝0，
22→—→→—→∴AE⊥A1D1，AE⊥D1F，
即AE⊥A1D1，AE⊥D1F，又A1D1∩D1F＝D1， A1D1，D1F?平面A1D1F， ∴AE⊥平面A1D1F.
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用向量法证明：
(1)平面A1BD∥平面CB1D1； (2)AC1⊥平面A1BD.
→→—→
证明 以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，C1(0,1,1)．
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff —→
(1)∴A1D＝(－1,0，－1)， —→
A1B＝(0,1，－1)， —→
D1B1＝(1,1,0)， —→
D1C＝(0,1，－1)，
设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， —→??－x1－z1＝0，A1D＝0，?n1·?
则?即?
?—→?y1－z1＝0.?A1B＝0，?n1·
令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.
∴平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1,1,1)． 设平面CB1D1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， —→??D1B1＝0，?n2·?x2＋y2＝0，
则?即?
?→y－z＝0.?22?D1C＝0，?n2·
令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1， ∴n2＝(－1,1,1)， ∴n1＝n2，即n1∥n2. ∴平面A1BD∥平面CB1D1. —→—→
(2)又AC1＝(－1,1,1)，∴AC1∥n1. —→
∴AC1是平面A1BD的法向量， ∴AC1⊥平面A1BD.
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
→→→
证明 以A为坐标原点，AD，AB，AP的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的
二位分为Greg