个帅哥帅哥的ffff →→—→
证明 如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(1,0,0)，
→→—→
A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，PC＝(1,0，－1)，PA＝(0,1，－1)，PB1＝(1,1,1)， —→
B1C＝(0，－1，－2)， —→
B1A＝(－1,0，－2)．
—→→PB1·PC＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， —→→
所以PB1⊥PC，即PB1⊥PC. —→→又PB1·PA＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， —→→
所以PB1⊥PA，即PB1⊥PA.
又PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC， 所以PB1⊥平面PAC. 类型三 证明面面垂直
例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明 由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 10，0，?， E?2??
1—→→—→→
－2，0，?. 故AA1＝(0,0,1)，AC＝(－2,2,0)，AC1＝(－2,2,1)，AE＝?2??设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)， —→??AA1＝0，?n1·?z＝0，
则?即?
?→－2x＋2y＝0.??AC＝0，?n1·
令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0)． 设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)， －2a＋2b＋c＝0，—→??AC1＝0，?n2·?
则?即? 1
→－2a＋c＝0.??2AE＝0，?n2·?令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1,4)． 因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2. 所以平面AEC1⊥平面AA1C1C. 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
跟踪训练3 如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
→→→
证明 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，以A为坐标原点，AB，AD，AS的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff
111?则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E??2，2，2?，连结AC，设AC与BD相交于点O，11?连结OE，则点O的坐标为??2，2，0?. 1→→
0，0，?， 因为AS＝(0,0,1)，OE＝?2??→1→→→
所以OE＝AS，所以OE∥AS.
2
又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD， 又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
1．若直线l1的方向向量为a＝(2，－4,4)，l2的方向向量为b＝(4,6,4)，则l1与l2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直
解析 因为a·b＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0， 所以l1⊥l2.
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直
解析 ∵a∥μ，∴l⊥α.
3．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直
解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t的值为________． 答案 5
解析 ∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
→
5．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)
→→→→→→→→①PA⊥AB；②PA⊥CD；③PC⊥BD；④PC⊥AB. 答案 ④
解析 由题意知PA⊥平面ABCD，
所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，①②正确；
又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，③正确．
证明垂直问题的方法：
(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；
②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
一、填空题
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案 10
解析 因为a⊥b，故a·b＝0，
二位分为Greg 个帅哥帅哥的ffff 即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________． 答案 －10
解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0， 解得x＝－10.
1?3．已知直线l的方向向量为e＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n＝??2，λ，－1?(λ∈R)．若l⊥α，则实数λ的值为________． 1答案 － 2
解析 ∵l⊥α，∴e∥n，∴
－1121＝＝，∴λ＝－. 1λ－122
4．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为________． 答案 (－1,0,2)
→→→
解析 由题意知AB＝(－1，－1，－1)，AC＝(2,0,1)，AP＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，→→
所以有AB·AP＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，① →→AC·AP＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，② 联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2)．
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)
①CE⊥BD；②A1C1⊥BD；③AD⊥BC1；④CD⊥BE. 答案 ①②
解析 以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0，1)，
二位分为Greg