【点评】本题考查的是二次函数的运用，由于计算量大，考生在做这些题的时候要耐心细心．难度中上．此题是分段函数，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解决，最后再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应用题目的特点．
19．（14分）（2015?黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x+（3a﹣1）
2
x+2a﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．
22
【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x+（3a﹣1）x+2a﹣1=0的两个实数根，
2
a=1，b=（3a﹣1），c=2a﹣1，
2
∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1?x2=2a﹣1， 而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，
22
∴3x1﹣10x1x2+3x2=﹣80，
2
3（x1+x2）﹣16x1x2=﹣80，
22
∴3[﹣（3a﹣1）]﹣16（2a﹣1）=﹣80，
2
∴5a+18a﹣99=0， ∴a=3或﹣
，
2
2
2
当a=3时，方程x+（3a﹣1）x+2a﹣1=0的△＜0， ∴不合题意，舍去 ∴a=﹣
．
【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．（16分）（2015?黄冈校级自主招生）如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C． 求证：
．
【解答】证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST； 连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点， 于是
因为C、E、O、D四点共圆， 所以PC?PE=PD?PO
又因为Rt△SPD∽Rt△OPS 所以
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即PS=PD?PO
2
而由切割线定理知PS=PA?PB 所以即
2
【点评】本题主要考查了切割线定理以及三角形相似的证明，注意对比例式的变形是解题关键． 21．（16分）（2010?仙桃）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）在Rt△BDC中，OD⊥BC， 由射影定理，得：OD=OB?OC； 则OB=
=1；
2
∴B（﹣1，0）； ∴B（﹣1，0），C（4，0），E（0，4）； 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4）（a≠0），则有： a（0+1）（0﹣4）=4，a=﹣1；
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∴y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x+3x+4；
（2）因为A（﹣2，0），D（0，2）； 所以直线AD：y=x+2； 联立
，
2
解得或，
则F（1﹣，3﹣），G（1+，3+）；
2
设P点坐标为（x，x+2）（1﹣＜x＜1+），则Q（x，﹣x+3x+4）；
22
∴PQ=﹣x+3x+4﹣x﹣2=﹣x+2x+2； 易知M（，），
若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形； ①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|xM﹣xP|，即： ﹣x+2x+2=2（﹣x），
解得x=2﹣，x=2+（不合题意舍去） ∴P（2﹣，4﹣）；
②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|xM﹣xQ|， 即：﹣x+2x+2=﹣x， 解得x=∴P（
，x=，
（不合题意舍去） ）
，4﹣
）或（
，
）；
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故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2﹣
（3）易知N（，
），M（，）；
设P点坐标为（m，m+2），
2
则Q（m，﹣m+3m+4）；（1﹣∴PQ=﹣m+2m+2，NM=
2
＜m＜1+）
；
①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有： MN=PQ， 即：﹣m+2m+2=
2
，
解得m=，m=（舍去）；
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当m=时，P（，），Q（，）
此时PM=≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形； ②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，
所以若四边形PMNQ是等腰梯形，只有一种情况：PQ∥MN； 依题意，则有：（yN﹣yQ）=（yP﹣yM）， 即（yN+yM）=（yP+yQ）， 即
+=﹣m+3m+4+m+2，
2
解得m=，m=（舍去）； 当m=时，P（，），Q（，
），此时NQ与MP不相等，
∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（，）．
【点评】此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件．
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参与本试卷答题和审题的老师有：zjx111；gsls；zhangCF；星期八；sks；wkd；gbl210；dbz1018；sd2011；HLing；CJX；ZJX；lanyan；csiya；Liuzhx；zhjh；lbz；MMCH（排名不分先后） 菁优网
2016年4月19日
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