第五章 特殊平行四边形
5.1 矩形 合作学习：
(1) 无数个，两条邻边的长度之比为2:1（或1:2）.
(2) 有一个面积最大的平行四边形.设一根火柴棒的长为1单位，平行四边形的面积是底边乘以高.当平行四边形的一个角是直角时，它的高为1，面积为2.而对于其他情况，平行四边形的高都小于1，因此面积都小于2.所以有一个角是直角时，这个平行四边形的面积最大.
(3) 内角都是直角，对角线相等.
课内练习：
1. 在矩形ABCD中，CD
∵DF?∴DE
AB.
11CD，AE?AB， 22 AE.
∴四边形AEFD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）. 又∵?A?Rt?（矩形的四个角都是直角）， ∴四边形AEFD是矩形（矩形的定义）. 2. ?AOD≌?BOC，?AOB≌?DOC，
?ABD≌?BAC，?ABD≌?CDB， ?ABD≌?DCA，?BAC≌?CDB， ?BAC≌?DCA，?CDB≌?DCA.
共有八对.
作业题：
1. 图中与??相等的角有三个，它们是：?BDC，?ACD，?DBA.
?B??C?90?（矩2. 证明：在矩形ABCD中，AB?DC（平行四边形的对边分别相等），
形的四个角都是直角）.
∵M为BC的中点， ∴BM?CM.
∴?ABM≌?DCM. ∴AM?DM.
3. 证明：在矩形ABCD中，AC?BD（矩形的对角线相等），CD//AB.
∵CE//BD，
∴四边形DBEC是平行四边形.
∴BD?CE（平行四边形的对边分别相等）. ∴AC?CE.
∴?CAE??CEA.
4. (1)矩形.理由：由勾股定理，AB?DC?5，AB?BC?25 ，
∴四边形ABCE是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）. 而BD?5，
∴DC?BC?BD. ∴?C?90?.
∴四边形ABCD是矩形. (2)如图.有多种画法.
222
5. 已知：如图，OB是Rt?ABC斜边上的中线.
求证：BO?1AC. 2证明：延长BO至D，使OD?BO，连结CD，AD. ∵AO?CO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵?ABC?Rt?，
∴□ABCD是矩形（矩形的定义）， ∴BD?AC（矩形的对角线相等）. ∴BO?11BD?AC. 22
6. 提示：连结DE.由已知可得，?AED??ADE??CED，
∵CD?CE，DF?AE，DE?DE，
∴?CED≌?FED（AAS）， ∴CE?FE.
课内练习：
1. (1)正确.因为平行四边形的对角相等，当它们又互补时，必定都等于90?.根据矩形的
定义，这个平行四边形是矩形.
(2)正确.因为平行四边形的邻角互补.若已知邻角相等，则这两个邻角均为90?.根据矩形的定义，这个平行四边形是矩形.
(3)不正确.可举反例如图：AC?BD，但四边形ABCD不是矩形.
(4)正确.内角都相等，根据四边形的内角和为360?，可得四个内角都等于90?.根据“有
三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形是矩形.
2. 在矩形ABCD中，AO?BO?CO?DO（矩形的两条对角线相等且互相平分）.
∵AE?CG?BF?DH， ∴OE?OF?OG?OH， ∴EG，HF互相平分，
∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. 又∵EG?FH，
∴□EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形).
作业题：
1. 证明：在□ABCD中，OA?OC，OB?OD（平行四边形的对角线互相平分）.
又∵?1??2， ∴OA?OB.
∴OA?OB?OC?OD，即AC?BD.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. 2. 证明：∵Rt?ABC≌Rt?CDA，
∴ ?DCA??CAB. ∵ ?B??D?Rt?， ∴?DAC??DCA?90?， ∴?DAC??CAB?90?.
∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形). 3. 证明：∵AB?AD，CB?CD，
∴AC?BD.
又∵M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点。 ∴PQ
1AC，MN21AC，QM21BD（三角形的中位线平行于第三边，并且2等于第三边的一半）.
∴PQ
MN.
∴四边形MNPQ是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）.
∵PQ//AC， ∴?DQP??DAC. ∵QM//BD， ∴?AQM??ADB. 而AC?BD，
∴?DAC??ADB?90?， ∴?AQM??DQP?90?， ∴?MQP?90?.
∴四边形MNPQ是矩形（矩形的定义）.
4. 提示：由已知四边形ABEC是平行四边形，得ABCE. 由已知BC是等腰三角形BED底边DE上的高线，得DC?CE，
∴ ABCD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵AC?BE?BD，
∴ □ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
5. (1)提示：由题意可得EH平分?AHF，GH平分?DHF，由此可得?EHG?Rt?，同理可得?HEF??HGF?Rt?，
∴ 四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）. (2)由题意可得HF?32?42?5.