习题1
1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
（1）x1*＝451.023， x1＝451.01；
*（2）x2＝－0.045 113， x2＝－0.045 18；
（3）x3＝23.421 3， x3＝23.460 4； （4）x＝， x4＝0.333 3；
3*4**1（5）x5＝23.496， x5＝23.494； （6）x6＝96×105， x6＝96.1×105； （7）x7＝0.000 96， x7＝0.96×10?3； （8）x8＝－8 700， x8＝－8 700.3。 解：(1) x1?451.023 x1?451.01
x?x1?0.013?**1****12?10?1，x1具有4位有效数字。x1?451.0
(2) x2??0.045 113 x2??0.045 18
12?10?4?x2?x2?0.045 18?0.045113=0.000 067???0.045*12?10?3
x2具有2位有效数字，x2
*(3)x3?23.4213 x3?23.4604
* x3?x3?23.4213?23.4604?23.4604?23.4213?0.0391?12?10?1
x3 具有3位有效数字，x3?23.4 (不能写为23.5)
(4) x4?*13 ，x4?0.3333
1
x4?x4?0.000033??*(5) x5?23.496，x5*12?10?4 ,x4具有4位有效数字，x4?0.3333
?23.494
12?10?2*x5?x5?23.496?23.494?0.002?x5?7
x5
具有4位有效数字，
96?10?0.96?10?7523.50 (不能写为23.49)
x6?96.1?10?75*(6) x6?
?2?0.961?107
*x6?x6?0.001?10?12?10?10
x6具有2位有效数字，x6?0.96?107?96?105
*?3(7) x7?0.00096 x7?0.96?10
x7?0.96?10*?3* x7?x7?0 x7精确
*(8) x8??8700 x8??870.03
*x8?x8?0.3?12?100
x8具有4位有效数字，x8??8700精确
2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83;
(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么？ 解：(1)
x1=0.1062，x2=0.947，x1+x2=1.0532
e(x1)?12?10?4，e(x2)?12?10?3
12?10?4e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)??12?10?3
=0.00055
2
x1?x2?[1.0532?0.00055**，1.0532+0.00055]=[1.05265，1.05375]
?10x1?x2?(2)
x1=23.46， x2??12.753
10.707
e(x1)?12?10?2，e(x2)?12?3
e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)?**12?10?2?12?10?3=0.0055
x1?x2?[10.707?0.0055, 10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125]
x1x2?18.76201,
?2(3)
x1?2.747
?3x2?6.83
12e(x1)?12?10, e(x2)??10
e(x1x2)?x2e(x1)?x1e(x2)?x2e(x1)?x1e(x2)?6.83?**12?10?3?2.747?12?10?2?12?10?2?(0.683+2.747)=0.01715
x1x2?[18.76201?0.01715,18.76201?0.01715]?[18.74486,18.77916]
(4)
x1?1.473 ,
?3x2?0.064 ,
?3x1x2?23.015625
e(x1)?x112?101x2, e(x2)?x12x212?10 e(x1?12?10x2?3)?1x2e(x1)?x12x2e(x2)
?3e(x2)?e(x1)?e(x2)?10.064?1.4730.0642?12?10
=0.187622
x1**x2?[23.015625?0.187622, 23.015625+0.187622]
=[22.828003 , 23.203247] 3.对一元2次方程x2?40x?1?0，如果399?19.975
具有5位有效数字，
求其具有5位有效数字的根。
3
解：x2x2?40x?1?0
399?120?399?3?40x?400?399x1?20?**399 , x2?20?
记
x?*399 ,x?19.975 e(x)?12?10
12?10?3x1?20?x=20+19.975=39.975 e(x1)?e(x2)?
?
x1具有x2?5位有效数字。
?120?19.975?139.975?0.0250156347?
120?x
e(x2)??e(x)(20?x)e(x)2 ，
1?10?32e(x2)?(20?x)2?239.975?0.313?10?6?12?10?6
因而
x2具有
5位有效数字。
得到 x2?x2?0.025016
也可根据
x1x2?1
1x1??0.02501563?4 739.97511e(x2)??e(x1)2x1 e(x2)?e(x1)2x1?2239.975?10?6
4.若x1?0.937具有3位有效数字，问x1的相对误差限是多？设
f(x)?1?x，求f(x1)的绝对误差限和相对误差限。
解：x1?0.937
e(x1)?12?10?3
4
1er(x1)?e(x1)x11?x?2?10?30.937?0.534?10?3
f(x)? ,f?(x)?12??121?x11?x
,
11?0.937?12?10?3e(f)?f?(x)e(x)??e(x)
e(f(x1))?12?11?x11?e(x1)?112??0.996?10?3
er(f)?e(f)f??121?xe(x)，
1211?0.93712er(f(x1))?21?x1?1e(x1)????10?3
=0.003975.取
2.01?1.42，
?3.97?10?3
2.01?2.002.00?1.41试按A?和
A?0.01(2.01?2.00)两种算法求A的值，并分别求出两种算法所得
问两种结果各至少具有几位有效A的近似值的绝对误差限和相对误差限，数字？
* 解：1) 记 x1?*2.01 ，x1?1.42 ，x2=2.00 ，x2?1.41
则 e(x1)?12?10?2 ，e(x2)?12?10?2
A* ?2.01?2.00?1.42?1.41?0.01
A1?1.42?1.41?0.01
e(A1)?e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)
e(A1)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)?12?10?2?12?10?2?10?2
5