递推： pn?~103~pn?1?pn?2, n?2,3,?
~~。
记 en?pn?pn ,则有 en?1103en?1?en?2
，n?2,3,?
11 en?en?1?3en?1?en?2?3(en?1?en?2)?3n?1(e1?e0) (A)
333 en?3en?1?en?1?en?2?(en?1?3en?2)?331113n?1(e1?3e0)
(B)
9(A)-(B) 得
en??3n?1(e1?e0)?n?1(e1?3e0)?
8?33? 只需 e1?e0?0 , 则 limen??因而递推过程不稳定
3n??1?11?118.已知p(x)?125x?230x?11x?3x?47，用秦九韶法求p(5)。 解： 125 0 230 ?11 3 ?47 5 625 3125 16775 83820 419115
125 625 3355 16764 83823 419068
p(5)?419068
19.已知f(x)?3?x?(x?4)2 解：f(x)?4(x?4)5
11
?6(x?4)?4(x?4)3235532，用秦九韶法求f(3.9)及f(4.2)。
?6(x?4)?(x?4)?(x?4)?7
令z?x?4，则x0?3.9时，z0?x0?4??0.1，由 ?6 4 0 1 1 7
-0.1 -0.4 0.04 0.596 -0.1596 -0.08404 4 -0.4 -5.96 1.596 0.8404 6.91596 得
f(3.9)?6.91596；
x0?4.2时，z0?x0?4?0.2，由
4 0
?6 1 1 7
0.2 0.8 0.16 -1.168 -0.0336 0.19328 4 0.8 -5.84 -0.168 0.9664 7.19328 得
f(4.2)?7.19328。
12
习题2
1. 分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间：
(1) x?cosx?0； (2) 3x?cosx?0； (3) sinx?e?x?0； (4) x2?e?x?0。
解：(1) x?cosx?0 (A) f(x)?x?cosx ，f?(x)?1?sinx?0 ,x?(??,?)
f(0)?0?cos0?1,f(?1)??1?cos(?1)??1?cos1?0 ? 方程(A) 有唯一根 x*?[?1,0] (2) 3x?cosx?0 (B) f(x)?3x?cosx,
f?(x)?3?sinx?0, x?(??,?)时
0??1?0，f(1)?3?1?cos1?3?cos1?0 f(0)?3?0?cos ? 方程(B) 有唯一根 x*?[0,1] (3)
sinx?e?x?0 (C)
sinx?e?x
?xf1(x)?sinx, f2(x)?e
方程(C)有无穷个正根，无负根 在[2k?,2k??在[2k???2?2] 内有一根 x1(k)，且lim[x1(k)?2k?]?0
k??(k)(k)?(2k?1)?]?0 ]内有一根x2，且lim[x2k??,2k???(示图如下) k?0,1,2,3?
13
f2(x) 1 ? 2? 3? 4? x (4)
x2?e?x?0 (D) y f1(x) f2(x)
x2?e?x 2 ?xf1(x)?x, f2(x)?e2 1 方程(D) 有唯一根 x*?[0,1] ?2 ?1 1 x 当 x?0时 (D)与方程 ?x?e?x2?x (E) e2 y 同解 ?x 2 当 x?0时 (E)无根 1 22. 给定方程 x?x?1?0； ?2 ?1 x (1)试用二分法求其正根，使误差不超过0.05；
(2)若在[0 , 2]上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次？ 解：x2?x?1?0
1) f(x)?x2?x?1?0 f(1)??1, f(1.5)??0.25?0,f(2)?1
x?[1.5,2]
*, x?*1?25?1.618034
14
1.5(?) 1.5(?) 1.5(?)
1.75(+) 2(+) 1.625(+) 1.75(+) 1.5625(+) 1.625(+)
1.625(+)
12?10?11.5625(?) 1.5937(5?)
(1.625?1.5625)2*?0.03125?
x?1.59375?1.6
2位有效近似值为 1.6 2)
a?a0?0， b?b0?2
ck?12(ak?bk) b?a2?5 x*?ck?12kk?1?12k
?105?12?10 ，2k?1
k?1?5ln10ln2?16.60
? 只要2等分18次
3. 为求x?5x?3?0的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。 解：f(x)?x3?5x?3?x(x2?5)?3
22f?(x)?3x?5?3(x?353)
当x?f(53)?53时， f?(x)?0; 当x?5353时 f?(x)?0
5510(?5)?3??333?3?0
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