们余角的?OEA和?CDE自然也就相等，这样，已得到了CD?CE的保证。
将图（2）、图（3）的情况与图（1）的情况对比，上述的“两个特殊点”仍然保持，因此，结论和根据也理应保持。
解：（1）连结OD，如图（1`），由OD?OA,得?OAD??ODA，
A E B ?OA?OB,??CED??OEA?90???OAD。
?CD切⊙O于点D，?OD?CD。
??CDE?90???ODA?90???OAD??CED。 ?CD?CE。
（2）CD?CE的结论仍然成立，理由是： 在图（2）中连结OD。
OC
（1`）
D ?CDE?90???ODA?90???OAD??FEA??CED，?CD?CE。
（3）CD?CE的结论也是成立的，理由是： 在图（3）中，若连结OD，与（1）同理，
有?CDE?90???ODA?90???OAD?90???GAE??CED，?CD?CE。
【说明】Ⅰ、本题的思考突出了先研究特殊，再去沟通其他的情况和特殊情况的本质联系； Ⅱ、在本题正是“平移不改变角度”这一特征，保证了题中反映的不变性的成立。
由以上两个例子看出：
相当多由图形变换引出的不变性或变化规律的问题，解法的思考应沿“变换”为线索，探究清楚其各类形态间的统一和差异，以及变换过程中“变”与“不变”间的关系，
2、由背景扩充引出的不变性或变化规律
由背景扩充，尤其是从特殊到一般，是知识形成与发展的重要途径。在这个过程中，重要的课题就是研究哪些性质保持不变，哪些性质发生了变化，又是怎样的规律变化的。
解决这类问题，思考时应该突出如下两点： Ⅰ、善于构造“特殊”和运用“特殊”；
Ⅱ、善于在比较中把握不同情形下的知识与方法的共同点。
（1）善于构造“特殊”和运用“特殊”
例6 如图（1），在?ABC中，AB?BC?5,AC?6.?ECD是?ABC沿BC方向平移得到的，连结BE交AC于点O,连结AE。
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由。
（2）如图（2），P是线段BC上一动点（不与B，C重合）。连结PO并延长交线段AE于点Q，四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积。
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A E A Q
E O
（1）
O
（2）
D B D B C P C
【观察与思考】对于（1），易推得四边形ABCE是菱形；对于（2），我们可以借助于点P的极端位置来思考，假定P在B点处（虽然题目P不与B，C重合，但不影响我们把这种情况作为思考的“桥梁”），则此时
S四边形PQED?S?BED，如此一来，（2）的结论和理由就一起得到了。
解：（1）四边形ABCE是菱形；证明如下：
??ECD是由?ABC沿BC平移得到的。?EC//AB,且EC?AB，
?四边形ABCE是平行四边形，
又?AB?BC，?四边形ABCE是菱形。
（2）四边形PQED的面积不随点P的运动而发生变化，是确定的值。 由菱形的中心对称性知，?PBO??QEO，?S?PBO?S?QEO，
??ECD是?ABC平移得到的，?ED//AC,ED?AC?6，
又?BE?AC,?BE?ED。
?S四边形PQED?S?QEO?S四边形POED?S?PBO?S四边形POED?SRt?BED?11?BE?ED??8?6?24。 22
例7 已知，如图（1），以?ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断?AEG和?ABC面积之间的关系，并说明理由。
E
G 【观察与思考】在条件中给出的?ABC没有任何其他限制，为了获得
?AEG和?ABC面积关系的认识，我们对?ABC从“一般”中取出
其包含的“特殊”——令?ABC中?BAC?90?，即直角三角形， 如图“特殊”，明显地看出，这时有Rt?ABC?Rt?AEG，立刻得
D
A （1） F
S?AEG?S?ABC，因此，促使我们产生猜想：对于任意的?ABC，如
题中操作得到?AEG，都应当有S?AEG?S?ABC。设法验证这个猜想。 因为AE?AB,只需要再有?AEG中AE边上的高和?ABC中AB边
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B E C
G
D A
（特殊） F
B
C
上的高相等，就可推得S?AEG?S?ABC，而由?EAG和?BAC为互补，
AG?AC，以上两个高相等是很多容易推出的。（见图（1`）
解：结论：S?AEG?S?ABC。理由如下：
作GM?EA,交EA的延长线于点M；作CN?AB,交AB于点N。 则：S?AEGE G A
D
N M
B
C
F （1`）
11?AE?GM,S?ABC?AB?CN。 22?AE?AB,GM?AG?sin?GAM,CN?AC?sin?BAC，
又?GAM和?BAC同为?EAG的补角，即?GAM??BAC，
且AG?AC，?GM?CN
?S?AEG?11AE?GM?AB?CN?S?ABC。 22
由以上两例可以看出：
为了探究“一般情况”的某种不变性，可以构造或选择恰当的“特殊”，先搞清楚这一“特殊”的情况下的结论及根据，再由此获得对“一般”的认识及解决的方法。
（2）善于在情景的比较中把握知识或方法的共同点
例8 如图（1），小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上一点，且?FAE??EAD，那么EF?AE。”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”、和“任意平行四边形”（如图（2），图（3），图（4），其他条件不变，发现仍然有“EF?AE”的结论。 A B F （1）
D
A D E
A D E B C A D E
B
F
C
E C B
（2）
F
C F （3）
（4）
你同意小明的观点吗？若同意，请结合图（4）加以说明；若不同意，请说明理由。
【观察与思考】若在图（1）中证明EF?AE，应注意利用BC的中点E的“中心对称功能”，可延长EF交AD的延长线于点G。如图（1`），由?FEC和?GED关于点E的中心对称，易得FE?GE。结合?FAE??GAE，立刻得AE?FE。
对于图（2），图（3），图（4）的情况，上述辅助线和相应的结果都有同样的保证。因此，“EF?AE”的结论也成立，且证明方法也相同。 解：（略）
D A G - 8 - E B C
【说明】在本题，尽管图形背景由特殊扩充到一般，但由于 “AE是?FAD的角平分线”，“E是CD的中点”这两个结论 的决定条件不变，使得结论也就具有“不变性”，即“条件本质 的不变性”决定了“结论的不变性。”。
（1`）
例9 如图（1），在梯形ABCD中，AB//CD,AB?b,CD?a,E为AD边上任意一点，EF//AB,且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时发现如下事实：
D C
DEa?b?1时，有EF?①当； AE2DEa?2b?2时，有EF?②当； AE3DEa?3b?3时，有EF?③当； AE4 当
E A
F B
（1）
DE?k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明； AE（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图（2）所示），其中AB//CD,AD?AB,AB?310米，DC?170米，
AD?70米，若要将这块地分成两块，由农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给
出具体分割方案。
【观察与思考】对于（1），由①，②，③的情况和结论容易得到 猜想：当
D C （2） B
DEa?kb?k时，应有EF?。为了获得对这个一般 AEk?1A
DE?2时这一“简单”情况的研究入手， 猜想的证明，我们从对AE以获得证明方法的启示。 如图（1`），若
DE?2，作CH//DA，交AB于H，交EF于M（因为我们总是把梯形的问题转化到平行四边AECMDE??2，而由?CMF∽?CHB得 形和三角形中来解决）。易知EM?DC?AH,MHAEMFCMCMCM2????，即
1HBCHCM?MH3CM?CM2222a?2bMF?HB?(b?a)，这样就有EF?EM?MF?a?(b?a)?。
3333DE?k”的情况。 这样的证明手段可以“移植”到“AEC D 对于（2），实际上是用（1）的结论来解决具体问题。
DEa?kb?k时，有EF?解：（1）结论为：“当。” AEk?1至于证明，可类比上面的观察与思考进行（略）。
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E A
M
F
H
B
（1`）
（2）若在AD,CB上分别有点E，F，且EF//AB，并且满足S梯形DEFC?S梯形EABF。
DE7070x?x，则由AE?DE?70得：AE?,DE?。 AEx?1x?1170?310x由（1）的结论知：EF?。
x?1170x170?310x170170?310x?(170?)???(?310）。 得方程：?2x?1x?12x?1x?1设
化简为12x2?7x?12?0,解得x1?即应在AD上取点E，使AE?44,x2??（舍去） 3370?30（米），作EF//AB交BC于F，则EF就把原直角梯形分成面积相等4?13的两个直角梯形。
【说明】本题的思考是从简单情况获取对一般情况结论和论证方法的启发。
由以上两例说明：
研究“特殊”情况与“一般”情况之间的知识、方法、原理诸方面的共同之处，是解决扩充型不变性或变化规律问题的一种有效策略。
3、由类比引出的图形的不变性或变化规律
“类比”也是人们拓展视野、认识新事物、增长新知识的重要方法和途径，同样，它也是我们在数学中探究图形性质“变中不变”或“变中的变化规律”的重要方法和途径。
例10 已知，⊙O1与⊙O2相切于点P，它们的半径分别为R,r。一直线绕P点旋转，与⊙O1、⊙O2分别交于点A,B（点P，B不重合）。探索规律：
B O1 A
P O2 （1）
O1 O2 B A
P
（2）
（1）如图（1），当⊙O1与⊙O2外切时，探究
PA与半径R,r之间的关系式，请证明你的结论。 PB（2）如图（2），当⊙O1与⊙O2内切时，第（1）题探究的结论还是否成立？为什么？
【观察与思考】对于（1），容易想到构造以直径为斜边的直角三角形，如图（1`），则有Rt?PAM∽Rt?PBN，
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