【观察与思考】问题（1）很多容易，而问题（2）的探究，就要从条件“两条对角线相等，且所夹的锐角为60°”出发，进行研究，通过画图，可以知道，符合这个条件的四边形应有两类，如图（1）和（2）分别有OA?OD和OA?OD。
而为了探究BC?AD和AC的关系，在图（1）这种特殊情况可如图（1`）那样平移AC到DE，此时?DBE为等边三角形，可推得AD?BC?BE?DE?AC；这又促使我们想到：在图（2）这样的情况，仍将AC平移至DE，如图（2`），连结BE,CE。据?DBE为等边三角形和?BCE的三边关系，有
AD?BC?CE?BC?BE?DE?AC。
如此一来，结论为AD?BC?AC连同证明方法都被我们探究了出来。
B
解：（略）
D
D
A A
60? O （2）
E
B
C
C
O （2`）
【说明】在本题，全面认识与分析条件下图形的类型，并以“特殊”情况的研究为先导，顺利地将问题解决。
以上两例提示我们：条件的研究和运用仍有原则与策略，那就是：一要全面考虑它所涵盖的各种情景；二要善于发挥“特殊”情况的指引和铺垫作用。
2、“探究特定条件”问题的思考特征
探究特定条件常用的思考策略是：
Ⅰ、借助分析法找结论成立的充分条件； Ⅱ、借助逆向思考的方法由结论倒推条件
（1）借助“分析法”寻找结论成立的充分条件
大家对“分析法”应较为熟悉，现公举一例说明。
例5 如图（1），半圆O为?ABC的外接半圆，AC为直径，D为弧BC上的一动点。 （1）问添加一个什么条件后，能使得 （2）若要有AB//OD,点D所在的位置应满足什么条件？ - 16 - BDBE?？请说明理由。 BCBDD B E A O C
（3）如图（1`），在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么 特殊四边形？证明你的结论。
【观察与思考】（1）和（2）是探究特定条件，而（3）是探究特定结论。
D E （1）
B BDBE?成立，只需有?BDE∽?BCD， BCBD而在?BDE和?BCD中，?DBE即?CBD，故只需?ADB??DCB，
对于问题（1），要使
因此，添加的条件可以是B为弧AD的中点。或AB?BD；
对于问题（2），要使AB//OD,只需?BAC??DOC，而这又只
（1`）
A O C 需D为弧BC的中点。 对于问题（3），满足（1）和（2）的条件，即弧AB?弧BD?弧DC，对应的图形如图（1`），由?BDA??DAC，得BD//OA，又已有AB//DO，且OA?OD，所以四边形AODB菱形。
解：（略）
【说明】在较简单的情况下，如本题，用“分析的方法”是探究特定条件最常用与最有效的方法。
（2）借助逆向思考由结论倒推条件
即将结论加入已有的条件之中，然后推演，由此得出某一结果，再检验它是否正好为要求的条件。
例6 如图（1），在四边形ABCD中，已知AB?BC?CD,?BAD和?CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ//BA,交AD于点Q，PS//BC，交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。 （1）当点P与点B重合时，图（1）变为图（2），若?ABD?90?，求证：?ABR??CRD；
（2）对于图（1），若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？
C
B P S
B R C
A D A Q D
【观察与思考】问题（1）是一道寻常的证明题，容易解决。
问题（2）就属于一个“探究特定条件”的问题了，用逆向思考的方法，构造一个新命题：条件是：本题的原有条件，再加上“四边形PRDS是平行四边形”，探究结论：四边形ABCD还具有怎样的性质？该命题相应的图形应是图（3），解决这个命题可获（2）的答案。
解：（1）在图（2）中，?ABD?90?,AB//CR,?CR?BD。
R （1） （2）
?BC?CD,??BCR??DCR。
- 17 -
?ABCR是平行四边形，??BCR??BAR,??BAR??DCR，
又AB?CR,AR?BC?CD，
??ABR??CRD，
（2）这时如图（3），由PS//QR,PS//RD知，点R在QD上，故BC//AD。 又由AB?CD,知?A??CDA。
?SR//PQ//BA，
??SRD??A??CDA,?SR?SD。 ?PS//BC及BC?CD,?SP?SD。
A B P C S （3）
Q
R
D
?SP?DR,?SR?SD?RD.??CDA?60?。
所以，要使四边形PRDS也是平行四边形，四边形ABCD还应满足BC//AD,?CDA?60?。
【需要特别说明的是】像本例用“逆向思考”的方法探究条件，应当再回来验证原题加上该条件后，确能保证欲有结论的成立，只是我们这里的推演过程的确是可逆的，因此没有强调这一点，但在其他情况的使用中，应注意“验证”这一步骤。
练习题
1、如图（1），两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O。
D D D
B
（1）
（2）
A B （3）
O C O C O C A
（1）将图（1）中的?OAB绕点O顺时针旋转90°，在图（2）中作出旋转后的?OAB（保留作图痕迹，不写作法，不证明）。
（2）在图（1）中，你发现线段AC，BD的数量关系是 ，直线AC，BD相交成 度角。
（3）将图（1）中的?OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图（3），这时（2）中的两个结论还成立吗？作出判断并说明理由。若?OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由。
2、如图（1），在直角梯形ABCD中，AD//BC,顶点D，C分别在AM，BN上运动，（点D不与A重合，点C不与B重合）。E是AB上的动点（点E不与A，B重合）在运动过程中始终保持DE?EC且AD?DE?AB?a。
- 18 -
（1）证明：?ADE∽?BEC
（2）当点E为AB边的中点时（如图（2），求证：①AD?BC?CD；② DE，CE分别平分?ADC,?BCD； （3）设AE?m，请探究：?BEC的周长是否与m的值有关，若有关，请用含有m的代数式表示?BEC的周长，若无关，请说明理由。
A M
（1）
E
（2）
D
M
A D
E
B C N
B C N
3、在?ABC中，?C?90?，AC?BC。
（1）将一块等腰直角三角形的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，如图（1）和图（2），判断线段PD和PE之间有什么数量关系？并就图形（1）给出证明；
（2）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM:BM?m:n，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图（3）加以证明。
A A A M D
B
P D C （1）
E
B
C D P E （2）
C E
（3）
B
4、如图（1），（2），（3）中，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点，一边延长线和另一边反向延线上的点，且BE?CD,DB延长线交AE于F。S E
A A M A F B C D F E B C D F - 19 - E N M A F B C D E B D C M
（1） （2） （3） （4） （1）求图（1）中，?AFB的度数；
（2）图（2）中，?AFB的度数为 ；图（3）中?AFB的度数为 。 （3）根据前面探索，请你将本题推广到一般的正n边形情况。
5、（1）在平行四边形ABCD中，E，F为对角线DB的两个等分点，连结AE延长交CD于P，连结PF延长产AB于Q，如图，探究：AQ和BQ之间的数量关系，并给出证明。
（2）若将平行四边形ABCD改为梯形，(AB//CD），其他条件不变， 此时（1）中的结论还成立吗？（不必说明理由）。
D E F P C
A B Q
6、已知，?MON?90?，四边形AOBC是正方形，其中点A，B分别在射线OM，ON上。 （1）如图，设D为OB的中点，以AD为边在?MON内作正方形ADD1D2； ①求?NBD1的度数； ②求证：点D2在直线BC上。
（2）设P为射线ON上任意一点， 以AP为边在?MON内作正方形APP1P2。请画图，写出与（1）中问题对应的两个问题，作出判断并说明理由。
M
D2
C A
D1
O D B N H
7、如图（1），已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上任意一点时，连结BG交AC于F。过F作FH//CD交BC于H，可以证明结论 FHFG?成立。 ABBGA F B H A B F H C - 20 - D G
G D C