可知，
PAR?， PBr对于（2），类比（1）的解决方法，自然也会想到去构造相似的直角三角形，如图（2`），则两圆内切时的解决方法也就找到了。 B
O1 N （1`） （2`） P M N M O2 O1 P O2
解：（1）有结论
B A
A
PAR?，证明如下： PBr设O1O2延长后分别与⊙O1、⊙O2相交于点M和点N，连结AM,BN，如图（1`）。
?PM,PN分别为⊙O1、⊙O2的直径，??A,?B均为直角，又?APM??BPN，
?Rt?APM∽Rt?BPN,? （2）
PAPM2RR???。 PBPN2rrPAR?的结论仍然成立。（理由请同学们自己说明）。 PBr【说明】就两圆相切来说，外切与内切是两种相对的情况，由外切情况下的某性质很自然地去联想内切情况下的相同性质，这就是典型的“类比”，当然，类比的结果可能成立，也可能不成立，但无论成立还是不成立，都会使认识得到拓展和深化，都是有意义的，当然，本题是两种情况 有相同的结论，即“变中的不变”，这也是知识发展的一种形式。
CG例11 如图，在?ABC中，AB?AC,D是BC上任意一点，过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F，
是AB边上高。
（1）DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明。 （2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，
又存在怎样的关系？请说明理由。
【观察与思考】（1）是比较熟悉的问题，结论是：DE?DF?CG。 对于（2），通过画图观察，此时，DE?DF?CG的结论不再成立， 那新的结论该是怎样的呢？对比（1）的结果证明方法，也容易得到 （2）的结果和证明方法。
解：（1）有结论：DE?DF?CG，证明如下： 方法一：（面积法）
连结AD（如图（1`），则S?ABC?S?ABD?S?ACD，即因为AB?AC，所以CG?DE?DF。 G E B
D
C
A A A G E B
D
F （1）
C
111AB?CG?AB?DE?AC?DF。 222F G - 11 - M F C E B D
（1``）
（1`）
方法二，（构造全等三角形法或称“截长法”）
作DM//AB,交CG于点M，如图（1``）由四边形EDMG为矩形，得DE?MG。 又?MDC??B??FCD，且CD公用。 ?RtCMD?Rt?DFC，得DF?CM。 ?CG?MG?CM?EF?DF。
（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，而有DE?DF?CG。理由如下：
说理一：连结AD，如图（2`）
A A E G （2`）
N D B E G F H （2``）
B C F
D C 则SABD?S?ABC?S?ACD，即有，
111?AB?DE?AB?CG?AC?DF 222?AB?AC,?DE?CG?DF，即DE?DF?CG。
当点D在CB的延长线上时，则有DF?DE?CG，理由如下：
作BH?AC于点H，则BH?CG,作BN//AC，交DF于点N，如图（2``）由四边形BHFN为矩形， 得FN?BH，又?DBN??ACB??ABC??DBE，DB公用。
?Rt?DBN?Rt?DBE，?DE?DN,?CG?BH?FN?DF?DN?DF?DE。
【说明】Ⅰ、在本题，点D在直线BC上，可分三种情况：（1）在线段BC上；（2）在线段BC的延长线上，（3）在线段CB的延长线上，由情况（1）的某种性质联想情况（2），（3）的对应性质，是典型的“类比”。本题的类比结果是原结论不成立，但得到了对应的结论，这就是“变中的变化规律”，同样扩展了知识和认识。
Ⅱ、本题类比得到的结论虽然不同，但证明方法具有统一性，或说运用着同样的原理和方法，这又体现着“变中的不变”。
以上三类“不变性”或“变化规律”问题，集中体现了探究能力就是在对“变中不变”和“变中变时变为什么”的辩析和掌握中得到提高的，希望同学们在上述解析的基础上，进一步总结，以形成自我变化的更多更有效的思考
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策略。
二、探究特定结论或特定条件 很多的探究性问题是这样的：或则是对背景图形加上特殊限定，在此基础上探究有无形成特定的性质（或结论）；或则是对背景图形希望能具备某一特殊性质（即结论），为此去探究应当附加怎样的条件。我们把前一类称作为“探究特定结论”，后一类称为“探究特定条件”。在各地的中考试卷中，这两类题目呈增加的趋势。
1、“探究特定结论”问题的思考特征
这类问题从结构来看其特征是：在背景图形上附加较多或较强的“特殊条件”，而正是这些“特殊条件”才是“特定结论”得以出现的根据和保证。因此，总体上来说，解决这类问题的切入点正在于与“探究”方向结合的情况下对“特殊条件”的深入研究和恰当运用（当然也要同时兼顾其他条件）。
（1）从条件直接推演
例1 已知：如图（1），?ABC中，?ABC?45?,CD?AB于点D，BE平分?ABC,且BE?AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
（1）求证：BF?AC；
（2）CE和BF有怎样的数量关系，写出判断并给出证明； （3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。
D F G E
（1）
A
C B H
【观察与思考】在三角形ABC中添加了诸多限制条件，从而使?ABC和?DBC极为特殊了，即： ⅰ、由BE平分?ABC,和BE?AC，得?ABC为等腰三角形，顶角?ABC?45?,底角?67.5?。 ⅱ、由?ABC?45?,CD?AB，得?DBC为等腰三角形，而DH为其底边上的中线； ⅲ、由BD?CD,?DBF??DCA?22.5?，得Rt?DBF?Rt?DCA。 有了这些研究，结论的探究和推证就很多容易了。
简解：（1）由ⅰ、ⅱ、ⅲ、得Rt?DBF?Rt?DCA，?BF?AC。 （2）由（1）知BF?AC，而由ⅰ知AC?2CE,?BF?2CE
（3）若连结CG，由DH为BC的对称轴知CG?BG，而Rt?CGE中，CG为斜面边。 ?CE?CG?BG。
【说明】在本题，?ABC为为顶角是45°的等腰三角形和?DBC为等腰直角三角形是各结论成立的决定因素，所
以，由本题的原始条件
例2 如图（1），在Rt?ABC中，?BAC?90?,AB?AC?23，D，E两点分别在AB，AC上，
如上的ⅰ、ⅱ、ⅲ、是思考的关键步骤，是“条件研究和运用”的主要体现。
DE//AB,CD?22，将?CDE绕点C顺时针旋转，得到?CD'E'（如图（2），点D',E'分别与D,E对应，
点E'在AB上，D'E'与AC相交于点M。 （1）求?ACE'的度数；
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（2）判断ABCD'是怎样的四边形，并说明理由。
A D （1）
A M D' （2）
E'
B C B E
【观察与思考】结合要求的“结论”，研究本题的条件，可知：
ⅰ、?ABC和?DEC进而（?D'E'C）都是等腰直角三角形，且腰长分别为23和22； 在此基础上进一步有：
ⅱ、在Rt?CE'A中，CE'?CE?4,AC?23,可知?ACE'?30? ⅲ、在?E'CB和?D'CA中，?E'CB??D'CA?15?，
C
BC23?2CA23。 ???E'C4D'C22即?E'CB∽?D'CA
对旋转后的图形（2）中出现的新图形有了如上的认识，相应的结论就容易求得和探究了。
简解：（1）由以上的ⅰ、ⅱ、可得?ACE'?30?；
（2）由ⅲ、得?E'CB∽?D'CA??CAD'??CBE'?45???ACB，可知AD'//BC，而
?ABC?45?,?BCD'?60?，可知AB与D'C不平行，所以ABCD'是梯形。
【说明】在本题，条件的研究侧重在两点：第一，把基本背景（1）对应的情况和旋转结合起来；第二，重在围绕要解决的问题（1）和（2）把相应的新图形（如图（2）中的?ACE',?BCE',?ACD'等）。的有关数量搞清楚。
例3 我们知道：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图（1），在?ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若
?A?60?,?DCB??EBC?1?A。 21?A，探2 请你写出图中一个与?A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在?ABC中，如果?A是不等于60?的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且?DCB??EBC?究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
【观察与思考】在全面审题的基础上很容易解决问题中的（1），而由
A 11?BOC?180???DCB??EBC?180???A??A?180???A
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D E
（1）
O
C
B
则在?A?60?时，易知?BOD??COE?60?，并容易看到四边形
DBCE可能是等对边四边形，因此，问题（2）获解。剩下的核心问题是（3），即如何在“?DCB??EBC?这个条件下，去推得“BD?CE。”
1?A”2
ⅰ、观察原图形，容易由“?DCB??EBC”这个条件结合BC公用，想到去作辅助线：“BF?CD，交CD延长线于F，作CG?BE于G。”以构造出Rt?CBF?Rt?BCG，得到BF?CG。 ⅱ、在ⅰ和基础上，进一步想到应由“?DCB??EBC?1?A”，去导出?BDF??CEB，也即导出211?CDB??CEB?180?，事实上，?CDB??A?(?C??A),?CEB??A?(?B?A) ，当然有
22?CD??BCE??BA??B??C?1?8，由此可推得0Rt?BDF?Rt?CEG，得到BD?CE。
A
解：（1）等腰梯形，矩形等；
（2） ?EOC??A，四边形DBCE是等对边四边形；
（3）四边形DBCE是等对边四边形，证明已在“观察与思考”中。
F D E G （1`）
O
B C
【说明】我们看，本题的（3）关键步骤是通过作BF?CD，CG?BE构造全等三角形，但这种作法的诱发，却是条件“?DCB??EBC”。的提示和引导。
结合背景和探究结论的基本方向研究条件，充分发挥特殊条件的特殊作用，是获得特定结论和给出特定结论证明的基础及保证。
（2）更灵活的利用条件
例4 我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。 D A
B
60? O A D
60? O （1）
C
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（1`）
B
C E