第7章三角函数 §7．1锐角三角函数
7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小： （1）sin19?与cos70?； （2）cot65?与cos40?；
（3）cos1?，tan46?，sin88?和cot38?．
解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70?化sin20?，再与sin19?比大小． 因为cos70??cos?90??20???sin20?，而 sin19??sin20?，
所以sin19??cos70?．
（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们 的大小．cot60??因为
33，cos40??cos45??， 33所以cot60??cos45?， cot65??cot60??32?cos45??，再将cot65?，cos40?分别与cot60?，cos45?比大小． 32所以cot65??cos40?．
sin88?均小于1，tn46（3）tan45??1，显然cos1?，而a以及tan46?与cot38?的大小即可． 因为cos38??cot?90??52???tan52?，所以 tan52??tan46??tan45??1．
?，cot38?均大于1．再分别比较cos1?与sin88?，
因为cos1??cos?90??89???sin89?，
所以sin88??sin89??1，
所以cot38??tan46??cos1??sin88?． 评注 比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：
（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．
（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．
（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某 些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30?，45?，60?的三角函数值． 7．1．2 ★化简求值：
（1）tan1??tan2??tan3???tan89?； （2）1?tan27??sin83?；
tan2??sin2?（3）；
tan2??sin2?（4）1?2sin11?cos11??cos79??sin79?；
sin??sin2?（5）若tan??3求的值．
1?3sin?cos?解析（1）
原式=tan1??tan2??tan3???tan44??tan45??cot44??cot43????tan1??cot1????tan2??cot2?????tan44??cot44???tan45?
?cot3??cot2??cot1?
?1?1??1?1．
cos27??sin27?1?cos7???cos7??1． （2）原式?2cos7?cos7?sin2??sin2?2sin4?sin4?cos????1． （3）原式?422sin2?sin?sin?1?cos????sin2?2cos?（4）原式=?sin11??cos11??2?sin11??cos11??sin11??cos11??sin11??cos11??0．
sin?cos??sin2?sin?cos??sin2?（5）原式? ?221?3sin?cos?sin??cos??3sin?cos?tan??tan2?3?326． ????tan2??1?3tan?32?1?3?319评注 同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．
7．1．3★试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦． 解析 在锐角三角形里，显然有?A??B?90?，所以有90???A?90???B．
由于在0?~90?范围内，当?A增加时，其正弦值是增加的，于是我们知道sinA?sin?90??B??cosB． 同理可以证明其他的五组．
7．1．4★下列四个数中哪个最大： A．tan48??cot48? B．sin48??cos48? C．tan48??cos48? D．cot48??sin48? 解析 显然0?sin48??1，0?cos48??10 sin48??cos48??sin48??tan48?， cos48?cos48??cot48? sin48?所以A最大． 7．1．5★设x为锐角，且满足sinx?3cosx，求sinxcosx． 解析 我们将sinx?3cosx代入sin2x?cos2x?1，得到10cos2x?1，并且x是锐角，因此cosx?310110所以sinx?． 因此sinxcosx?3． 107．1．6★★在△ABC中，?C?3?A，BC?27，AB?48．证明：2?A是锐角，并计算cos2A的值． 解析 若2?A≥90?，则?A≥45?，?C?3?A≥135?，于是?A??B??C?180?，矛盾． 为计算cos2A，必须构造出一个以2?A为其一锐角的直角三角形．如图，过C作CD交AB于D，使 ?ACD??A，则?BCD?3?A??A?2?A． CEADB 又?CDB??A??ACD =2?A??BCD 所以BD?BC?27， AD?AB?BD?21， DC?AD?21． 作BE丄CD于E，则CE?DE?21CE217，故cos2A?cos?BCE???． 2BC54187．1．7★已知sin??cos??2，求sin?cos?的值． 解析 由sin??cos??2两边平方得 2?sin??cos?????2． 2又sin2??cos2??1，所以 1?2sin?cos??2， 得 sin?cos??1． 2评注 （1）当已知sin?与cos?之间和或差的值时，常常考虑运用sin2??cos2??1转化问题． （2）总结此题解答过程，该问题实际上是读者都熟悉的问题： 已知a?b?2a2?b2?1，求ab的值． 这里用三角函数式sin?、cos?来替代a、b，变化了一下问题的形式．因此，在解题时，弄清问题的本质是非常重要的． 7．1．8★已知m为实数，且sin?、cos?是关于x的方程3x2?mx?1?0的两根．求sin4??cos4?的值． 解析 由 根 4与系数 2的 2关 2系知 sin?cos??s132．则有 s4?i?n???co2??s???s??i7n． ?9c??osinco7．1．9★★设A、B是一个直角三角形的两个锐角，满足sinA?sinB?解析 由于A?B?90?，故由互余关系得 2．求sinA及sinB的值． 2sinB?sin?90??A??cosA． 因此条件即为 sinA?cosA?2， 2 ① 将上式平方，得 sin2A?cos2A?2sinAcosA?1， 21，所以 23， 2由正、余弦的平方关系，即有2sinAcosA??sinA?cosA?2?sin2A?cos2A?2sinAcosA?1?2sinAcosA?因sinA、cosA均为正数，故sinA?cosA?0．因此由上式得 sinA?cosA?6， 2 ② 由①、②得sinA?评注 6?26?26?2，cosA?，故sinB?． 444本题也可如下解答：由①得 2， 2sinA?cosA?两边平方，得 sin2A?cos2A?2cosA?1， 2 ③ 因sin2A?1?cos2A，代入上式并整理，得 1 ④ 2cos2A?2cosA??0， 2?2?66?26?2．因cosA?0，故只有cosA?．由此及①得sinA?． 4447．1．10★若存在实数x和y，使得 解得cosA?5?22sinx?cosy?a , ??4 ?3?cos2x?sin2y?a2 , ??4求实数a的所有可能值． 解析 8把两式相加，得3a2?5a?8，解得a?1，或a??（舍去）． 3ππ ，y?满足方程．故a?1． 46 7．1．11★★已知关于x的一元二次方程 当a?1时，x??m?2?x2??2m?11?x?12?0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m的值． 解析 设方程的两个实根x1、x2分别是直角三角形ABC的锐角A、B的正弦．则 2x12?x2?sin2A?sin2B?sin2A?cos2A?1?A?B?90??， 又x1?x2?212m?1112，x1x2?， m?2m?22所以x?x??x1?x2?2124?2m?11??2x1x2????1． ??m?2?m?22化简得m2?24m?23?0，解得m?1或23．检验，当m?1时， △??2m?11??48?m?2??0； 当m?23时， 2△??2m?11??48?m?2?≥0． 所以m?23． 评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和sin2??cos2??1列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根． 7．1．12★★已知方程4x2?5x?k?0的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k． 解析 5?x?x?? , 12??4根据韦达定理，有? k?xx?.12??422并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有x12?x2?1． 于是有1?x?x??x1?x2?21222k?5??2x1x2?????2?． 4?4?2解得k?9． 87．1．13★★★若直角三角形中的两个锐角A、B的正弦是方程x2?px?q?0的两个根； （1）那么，实数p、q应满足哪些条件？ （2）如果p、q满足这些条件，方程x2?px?q?0的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A、B的正弦？ 解析 有 △?p2?4q≥0． （1）设A、B是某个直角三角形两个锐角，sinA、sinB是方程x2?px?q?0的两个根，则 ① 由韦达定理，sinA?sinB??p,sinAsinB?q．又sinA?0，sinB?0，于是p?0，q?0． 由于sinB?sin?90??A??cosA．所以sinA?cosA??p，sinAcosA?q， 所以 ??p?2??sinA?cosA??1?sinAcosA?1?2q， 2即p2?2q?1． 1由①得1?2q?p2?4q≥0，则q≤． 2故所求条件是 p?0，0?p≤1，p2?2q?1． 2 ② （2）设条件②成立，则p2?4q?1?2q≥0，故方程有两个实根：