?p?p2?4q?p?1?2q???，
22?p?p2?4q?p?1?2q?．
22??由②知?p?1?2q，又?1?2q≤1?2q?1?2q??p， 所以0??p?1?2q≤?p?1?2q，故?≥??0． 又?2??2???????2???p2?2q?1，故0??≤??1． 所以，?、?为直角三角形两个锐角的正弦． 评注
一般地，有sin?9?0????c?os，cos?90?????sin?．即在Rt△ABC中??C?90??，
2sinA?cosB，cosA?sinB．
7．1．14★★已知方程4x2?2?m?1?x?m?0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m的值．
解析 设题中所述的两个锐角为A及B，由题设得 ?2?△?4?m?1??16m≥0 , ?m?1? , ?cosA?cosB?2?m?cosAcosB?.??4因为cosB?sinA，故
?2?△??m?1?≥0?m可取任意实数 , ?m?1? , ① ?cosA?sinA?2?m?cosAsinA? , ②??4①式两边平方，并利用恒等式sinA?cosA?1，得?cosA?sinA??1?2sinAcosA?222?m?1?42．
m?m?1?再由②得1??，
242解得m??3．
由cosA?0，sinA?0及②知m?0． 所以m?3．
7．1．15★★不查表，求15?的四种三角函数值．
30?、45?、60?这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几解析
何性质及勾股定理直接推出．同样，15?角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出． 如图所示．在△ABC中，?C?90?，?ABC?30?，延长CB到D，使BD?BA，则
1?D??BAD??ABC?15?．
2A130°CB15°D
CD?CB?BD?2?3， 设AC?1，则AB?2，BC?3，BD?2，所以 所以
AD?AC2?CD2?1?2?3所以 sin15????2?8?43??24?23?2???3?1?2?2?3?1?6?2．
?AC16?2??， AD46?2CD2?36?2??， AD46?2AC1??2?3， CD2?3cos15??tan15??CD?2?3． AC评注 将15?角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30?角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75?角的四种三角函数值． 7．1．16★★求22.5?角的正切值（不查表，不借助计算器）． cot15??解析
22.5??45?，所以设法构造一个含22.5?角的直角三角形，用定义求值． 21，则?D??B?52.2设AC?b，?．
Rt△ABC中，?C?90?，?B?45?，如图，延长CB到D，使BDB?A有AB?b2?b2?2b，DC?DB?BC??2?1b．
?ADBC
故tan22.5??AC?DCb?2?1b??2?1．
7．1．17★★求sin18?的值． 解析 构造一个顶角A为36?的等腰△ABC，AB?AC，如图，作内角平分线则?ABD??DBC?36?，设AC?1，BC?x．
ADBHC
?由于?DBA??DAB?36?，?BDC??BCD?72?，故CB?BD（?CAB??CBD?36?），故
D?A，而△CAB∽△CBD5?15?1ACBC1x，故?，有x?（舍去?）． ?22BCDCx1?x5?1再作AH?BC于H，则?CAH?18?，CH?．
4所以sin18??评注
出半径为R的圆内接正十边形的边长．
5?1． 4本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它可以求
m2?17．1．18★已知直角三角形ABC中，?C?90?，sinA?sinB?m，求证：sinAsinB?．
2解析 因为?A??B?90?，所以sinB?cosA．从而sin2A?sin2B?sin2A?cos2A?1． 又sinA?sinB?m，所以
m2??sinA?sinB??sin2A?sin2B?2sinAsinB， 即2sinAsinB?m2?sin2A?cos2A?m2?1．
7．1．19★★在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且sinA:sinB:sinC．
2??b?cc?aa?b，求??101511解析 设
依题意，可将边转化为角．
abc???k，则 sinAsinBsinCa?ksinA，b?ksinB，c?ksinC． 于是题中条件化为
sinB?sinCsinC?sinAsinA?sinB． ??101511令上述比值为t，那么 sinB?sinC?10t， sinC?sinA?15t， sinA?sinB?11t．
所以有sinA?8t，sinC?7t，sinB?3t，从而得sinA:sinB:sinC?8:3:7． 7．1．20★★★若?为三角形的最小内角，试求关于x的方程
8x5?4x4???5?cos?x3?23x2?2x?0的所有实根．
?解析 原方程显然有根x?0，再求方程
5?cos?x2?23x?2?0
8x4?4x3?? ①的实根．
1?为三角形最小内角，则0???≤60?，所以≤cos??1．
2方程①可整理变形为 1??1??2x?2x????cos???x2?2??2??22?5x2?23x?2?0，
?1??2x?2x??≥0，
2??221?2??cos???x≥0．
2??令f?x??5x2?23x?2， 由△??23??2?4?5?2?0知f?x?恒大于零，即不存在使方程①成立的实数x．
故原方程仅有一个实根x?0．
7．1．21★★已知函数y?x2cos??4xsin??6对于任意实数x都有y?0，且?是三角形的一个内角，求cos?的取值范围． 解析
由于方程没有实数根，?4sin???24cos??0．
2并根据sin2??cos2??1，可以得到
2cos2??3cos??2?0．
因此cos??0.5或cos???2．
由于1?cos??0，所以1?cos??0.5． 7．1．22★★已知?、?是钝角，求证： （1）关于x的方程
2x2?21?cos?x?cos??0
①有两个不相等的实根；
（2）若sin?是方程①的根，则cos?也是方程①的根． 解析
（1）因?是钝角，故cos??0，于是△?4?1?cos???8cos??4?1?cos???0，
所以，方程①有两个不相等的实根．
（2）设r是方程①的另一根，则r?sin?．由韦达定理，得
r?sin??1?cos?， ②
cos? ③ ?0．
2由于sin??0，故r?0．由②、③两式得 rsin??r2?sin2???r?sin???2rsin???1?cos???cos??1．
2所以
r??1?sin2???cos2??cos?，即cos?也是①的根．
7．1．23★★已知y??cos??x2??4sin??x?6，对于任意实数x，都有y?0，且是三角形的一个内角，求?的取值范围． 解析
因对任意实数x，二次函数y??cos??x2??4sin??x?6y恒大于0，所以cos??0，并且
2△??4sin???24cos??0，所以161?cos2??24cos??0，整理得?2cos??1??cos??2??0． 因cos??2?0，故2cos??1?0,cos??所以0????60?．
7．1．24★★若x、y为实数，x2?y2?1，?为锐角，求证：xsin??ycos?的绝对值不大于1． 解析
由x2?y2?1，sin2??cos2??1，得x2?y2sin2??cos2??1，
??1． 2????即x2sin2??y2cos2??x2cos2??y2sin2??1，加一项减一项，得
x2sin2??2xysin?cos??y2cos2??x2cos2??2xycos?sin??y2sin2??1．
即?xsin??ycos????xcos??ysin???1， 因为?xcos??ysin??≥0， 所以?xsin??ycos??≤1， 故xsin??ycos?≤1．
7．1．25★已知0??????90?，求证：（1）sin??sin?；（2）cos??cos?；（3）tan??tan?． 解析
用定义将三角比表示成直角三角形对应边的比，然后利用边的不等关系证明．
222???，?A2OB??，使AO?A2O?1，作A1H1?OB于H1，A2H2?OB于H2． 作?AOB11A2A1COH2H1B
由?A2OB??AOB得射线OA1与线段A2H2相交，设交于C，则OA1?OA2?OC，所以A1在OC的延长1线上，所以H1在OH2的延长线上，得OH1?OH2．