2又A1H1?1?OH12，A2H2?1?OH2，所以A1H1?A2H2．
因为sin??tan??A1H1OH1AHAHOH2?A1H1，cos???OH1，tan??11，sin??22?A2H2，cos???OH2，OA1OA1OH1OA2OA2A2H2，所以sin??sin?，cos??cos?，tan??tan?． OH27．1．26★★ 已知0????90?，求证：
Bin??s?in，解析1 构造Rt△ABC，?C?90?，AB?1，?CAB??，如图，则BC?AsAC?ABcos??cos?．
（1）由+BC?AC?AB，得sin??cos??1；
111111AB?，S△ABC?AB?CH≤AB?CD?AB2?222244（△ABC以中线CD，高线CH重合为面积最大）． （2）作高CH，中线CD，则CH≤CD，CD?CcosαsinααADHB
而S△ABC?11BC?AC?sin?cos?，所以2sin?cos?≤1． 222有1?2sin?cos?≤2，即?sin??cos??≤2． 又sin??cos??0，所以sin??cos?≤2． 由（1），（2）知，1?sin??cos?≤2． 解析2
?sin??cos??22?1?2sin?cos??1．
22又由2??sin??cos???1?2sin?cos???sin??cos??≥0，得2≥?sin??cos??， 故有1??sin??cos??≤2，由sin??cos??0，知1?sin??cos?≤2． 评注
解析1同时也证明了“斜边给定的直角三角形中，等腰直角三角形的面积最大”这一结论．
y??≥sin?sinxsiny?． ?2?sin2x?sin27．1．27★★★证明：对于任何实数x、y，有sin?2?解析 因为对于任意x、y，都有
?1≤sinx≤1，?1≤siny≤1，
πsin2x?sin2yπ所以???1≤sinxsiny≤≤1?．
222?sin2x?sin2ππ而函数sinx在?≤x≤上的值是随着x的增加而增加的，故sin?222?y??≥sin?sinxsiny?． ?7．1．28★★★若a?b?0，0?≤?≤90?，试证明解析
假设
asin??ba?ba?b不能介于及之间．
asin??ba?ba?ba?basin??ba?basin??ba?b，则有． ???a?basin??ba?basin??ba?b由题意知0≤sin?≤1，a?0，则asin?≤a，即 asin??b≤a?b， 又b?0，从而 1?即
2b2b， ≥1?asin??ba?basin??ba?b，所以假设不成立，即命题成立． ≥asin??ba?b2?y?x?1?x?y?yx?． 1?x1?y7．1．29★★★设x2?y2?1，且x??1，y??1，求证：解析
本题如果直接用代数方法，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂．根据已知条件
x2?y2?1，联想到sin2??cos2??1，因此可设x?sin?，y?cos?，则将代数式转化为三角式，利
用三角函数有关公式进行变形，这样会简便一些． 设x?sin?，y?cos?，则
yxcos??cos2??sin??sin2?cos?sin??? ??1?x1?y1?sin?1?cos?1?sin?1?cos????????cos??sin???1?cos?sin??1?sin??cos??sin?cos??2?cos??sin???1?cos??sin??2?2sin??2cos??2sin?cos?
2?cos??sin???1?cos??sin??1?sin2??cos2??2sin??2cos??2sin?cos??2?cos??sin???1?cos??sin???1?cos??sin??2?2?cos??2sin??1?cos??sin??2?y?x?1?x?y．
评注
22在一些代数等式的证明中，如果已知条件
22?x?cos? , ??x?acos? , 或? x?y?1或x?y?a?a?0?，则可设?y?sin?;???y?asin? , 从而将代数式转化为三角等式的证明问题，我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多，
因此化为三角式后，运算化简常比较方便．
§7．2解直角三角形
7．2．1★★如图，在直角三角形ABC中，?C?90?，AD是?A的平分线，且CD?6，DB?26，求△ABC的三边长．
AECDB
解析
由角平分线想到对称性，考虑过D作DE?AB，交AB于E，则由?C?90?得CD?DE?6．
在直角三角形BDE中， sinB?DE61??，则?B?60?，所以 DB262AC?BCtanB??6?26??3?32， 3AB?AC?2AC?62， sinBBC?CD?DB?36．
故△ABC的三边长分别为62、32，36．
7．2．2 ★★在Rt△ABC中（如图），D、E是斜边AB的三等分点，已知CD?sinx，CE?cosx?0??x?90??．试求AB的长．
BPQFGDECA
解析 作DF?AC于F，EG?AC于G；DP?BC于P，EQ?BC于Q．令 BP?PQ?QC?a，AG?GF?FC?b． 则DF?2a，EG?a．
在Rt△CDF和Rt△CEG中，由勾股定理，得?2a??b2?sin2x，及a2??2b??cos2x， 两式相加得5a2?b2?1，a2?b2?所以AB?3BD?3a2?b2?22??1． 535． 57．2．3★★如图，△ABC中，?C?90?，AB?10，AC?6，AD是?BAC的平分线，求点B到直
线AD的距离BH．
AEBHDC
解析 已知Rt△ABH中，AB?10，要求BH，可求出?BAH的正弦值，而?BAH??CAD，因而可先求出DC的长．
作DE?AB于E，有AE?AC?6，ED?CD． 设DC?3k，由三角形内角平分线性质有
BD10?，则BD?5k． DC6222Rt△BDE中，DE2?BE2?BD2，即?3k???10?6???5k?，得k?1． CD?3k?3，AD?62?32?35，sin?DAC?15?BH，故BH?25． 107．2．4★已知△ABC是非等腰直角三角形，?BAC?90?，在BC所在直线上取两点D、E使DB?BC?CE，连结AD、AE．已知?BAD?45?．求tan?CAE的值． 解析 如图，过B、C两点作BM∥AC、CN∥AB分别交AD、AE于M、N．易知
MDBANCE
AC?2BM，AB?2CN，
tan?BAD?BMCN，tan?CAE?， ABAC1． 4从而，tan?BADtan?CAE?1． 47．2．5★★设有一张矩形纸片ABCD（如图），AB?3，BC?4．现将纸片折叠，使C点与A点重合，试求折痕EF的长．
因为tan?BAD?1，则tan?CAE?AFDOBEC
解析 设O是矩形对角线AC的中点．连结CF，由折叠知CF?AF，故FO?AC，即EF?AC．由AB?3，BC?4，得AC?5，从而
15AC?． 22在Rt△AOF中，?AOF?90?，故OF?AO?tan?FAO． AO?又由Rt△ADC得tan?FAO?tan?DAC?所以OF?DC3?， AD4531515??，EF?2OF?． 248425，求证：此三角形为等腰三47．2．6★★已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30?，面积为角形．解析由题意可设a?b?10，??30?，则
125， S△?absin??241125即ab??， 224得ab?25．
于是，由a?b?10，ab?25，得a、b是方程x2?10x?25?0的两个根．而此方程有两个相等的根，所以a?b?5，即此三角形为等腰三角形． 评注
也可以直接由
2?a?b???a?b??4ab?0，得a?b．
27．2．7★★在△ABC中，?C?90?，其周长为2?6，且已知斜边上的中线长为1．如果BC?AC，求tanA的值． 解析 由于斜边长是斜边上中线长的2倍，故AB?c?2．于是，由题设及勾股定理，得
??a?b?6 , ① ?22??a?b?4. ②把①式两边平方，得 a2?2ab?b2?6． 再由②得
ab?1．
③
6?2． 2由①、③知，a、b分别是二次方程u2?6u?1?0的两根，解得u?因为BC?AC（即a?b），故BC?12?6?2，AC??12?6?2，
?所以tanA?BC6?2??2?3． AC6?27．2．8★★已知a、b、c分别是△ABC中?A、?B，?C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程 x2?4?c?2???c?4?x的两个根． （1）判断△ABC的形状； （2）若tanA?解析
3求a、b、c． 4（1）根据题意，尝试从边来判断．
因为a?b?c?4，ab?4?c?2?，
所以a2?b2??a?b??2ab??c?4??2?4?c?2??c2， 从而知△ABC是直角三角形，?C?90?．
22